Das Wurzelziehen kehrt im allgemeinem das Quadrierem um. Die Wurzel einer Beispielzahl a ist diejenige Zahl, die wenn man sie mit sich selbst multipliziert, wieder a ergibt z.B. :

$3^2=9$

$\sqrt[2]{9}=3$

$3^3=27$

$\sqrt[3]{27}=3$

$\sqrt[2]{a}$ spricht man wie folgt aus : die zweite Wurzel von a Das gleiche gilt für Ähnliches :

$\sqrt[3]{a}$⇒ dritte Wurzel von a $\sqrt[8]{a}$⇒ achte Wurzel von a etc.

Jedoch gibt es bei $\sqrt[2]{a}$ eine „besonderheit“ $\sqrt[2]{a}$ = $\sqrt{a}$ Diese nennt man Quadratwurzel.

Hinweis: Es gibt nur wenige Zahlen, bei denen das Wurzelziehen so einfach ist. Dies sind die Zahlen 1 ,4, 9, 16, 25, 36 etc. , da beim ziehen aus diesen Wurzeln eine natürliche Zahl raus kommt. Bei komplizierteren Aufgaben empfiehlt sich der Einsatz eines Taschenrechners.

Um die Wurzelfunktion beim Taschenrechner aufzurufen sind folgende Zeichen wichtig:

ctrl $x^2$ → $\sqrt{…}$

ctrl^ → $\sqrt[a]{…}$

Wichtig im Umgang mit Wurzeln ist, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann. $\sqrt{-a}$ geht nicht, weil beim quadrieren nie eine negative Zahl rauskommen kann z.B.

$6^\left(-3\right)=0,00463\ldots$ oder $6^3=216$

Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen, trotz eines negativen Radikanten, ein definierbares Ergebnis z.B.

$\sqrt[3]{-125}$ = -5

Das Ergebnis ist definierbar, weil :

$\left(-5\right)^3$ = $\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$ = -125

Die Wurzel ist eine positive Zahl. Wollen wir diese Zahl negativ haben, müssen wir ein - vor die Wurzel setzen und nicht in die Wurzel z.B.

-$\sqrt{16}$ = -4 und nicht $\sqrt{-16}$

Ebenfalls wichtig ist, dass das Ergebnis einer geraden Wurzel sowohl positiv als auch negativ ist z.B.

$\sqrt{25}=\pm$ weil $5^2=25$ und $\left(-5\right)^2=25$

Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da die Potenz von Null Null ergibt

$\sqrt[x]{0}$ = 0 —→ $0^x$ = 0

Hier ein paar Übungsaufgaben

1) $\sqrt{81}$

2) $\sqrt{100}$

3) $\sqrt{16}$

4) $\sqrt[7]{128}$

5) $\sqrt{-9}$

6) $\sqrt{122}$

7) $\sqrt[2]{16}$

Lösung

1) ± 9

2) ± 10

3) ± 4

4) ± 2

5) Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen

6) ± 11,045…

7) ± 4

Beim wurzelziehen gibt es auch einige Gesetze, die das Rechnen erleichtern. Hier sind sie aufgeführt :

$\sqrt[n]{a}$ • $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a•b}$

$\sqrt[n]{a}$ : $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a:b}$

$\sqrt[n]{a}$ + $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a+b}$

$\sqrt[n]{a}$ - $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a-b}$

$\sqrt[n]{a^n}$ = a

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ = a

$\sqrt[n]{a}$ = $a^\frac{1}{n}$

$\sqrt[-n]{a^d}$ = $\frac{1}{\sqrt[n]{a^d}}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ = $\sqrt[m•n]{a}$

Gleichunge, wo der Exponent gegeben und der Radikant gesucht ist, lassen sich durch das Wurzelziehen lösen.

$x^4$ = 81 | $\sqrt[4]{81}$

x = 3

Bei Aufgaben, wo der Exponent unbekannt ist ( $4^x$ ) hilft wurzelziehen nicht. Da muss man den Logarythmus verwenden.

Hier noch ein paar Übungsaufgaben

1) $\sqrt{7}$ • $\sqrt{8}$

2) $\sqrt[19]{7^19}$

3) $\sqrt{20}$ - $\sqrt{4}$

4) $\sqrt[3]{\sqrt[6]{9}}$

5) $x^16$ = 10

6) $\left(\sqrt[9]{10}\right)^9$

7) $\sqrt{2}$ : $\sqrt{4}$

8) $\sqrt[5]{243}$ + $\sqrt[3]{216}$

Lösung

1) $\sqrt{7•8}$ = $\sqrt{56}$ = ± 7,483…

2) ± 7

3) $\sqrt{20-4}$ = $\sqrt{16}$ = ± 4

4) $\sqrt[3•6]{9}$ = $\sqrt[18]{9}$ = ± 1,129…

5) $x^16$ = 10 | $\sqrt[16]{10}$ x = ± 1,154…

6) ± 10

7) $\sqrt{2:4}$ = ± 0,707…

8) ± 3 + ± 6 = 9 ; -9