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Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Sinussatz

Den Sinussatz kann man im allgemeinen Dreieck anwenden, dass bedeutet, das Dreieck muss nicht unbedingt rechtwinklig sein, wie bei den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

$\frac{a}{sin(α)}$=$\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$

Für jedes Dreieck gilt, dass die Quotienten aus der Seitenlänge und dem Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels jeweils denselben Wert haben.

Den Sinussatz benutzt man, wenn …

  • 2 Seiten und 1 Winkel, der gegenüber von einer dieser Seiten liegt, gegeben sind, 1 Winkel, der gegenüber der 2. Seite liegt, gesucht wird

Vorgehensweise

  1. Überflüssigen Teil der Formel weglassen
  2. Nach gesuchter Größe umstellen
  3. Werte einsetzen
  4. Ausrechnen

Beispiel

Im Dreieck ABC sind gegeben: β=48°; γ=75°; c=6cm. Berechne die Längen der Seite b.

  1. $\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$
  2. b=$\frac{c∗sin(β)}{sin(γ)}$
  3. b=$\frac{6∗0,7431}{0,9659}$
  4. b=4,62cm

Übungsaufgaben

1. Im Dreieck ABC sind gegeben: a=5cm; c=7cm; γ=50°. Bestimme die Größe des Winkels α.

2. Im Dreieck ABC sind gegeben: a=4cm; α=60°; β=50°. Bestimme die Länge der Seite b.

3. Im Dreieck ABC sind gegeben: a=8cm; b=5cm; α=80°. Bestimme die Größe des Winkels β.

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Lösungen

1. α=33°

2. b≈3,54cm

3. β≈37,99°

Kosinussatz

Den Kosinussatz kann man, genauso wie den Sinussatz, in jedem beliebigen Dreieck anwenden.

$a^2$=$b^2$+$c^2$-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)

$b^2$=$a^2$+$c^2$-2$\cdot$a$\cdot$c$\cdot$cos(β)

$c^2$=$a^2$+$b^2$-2$\cdot$a$\cdot$b$\cdot$cos(γ)

Für jedes Dreieck gilt, dass das Quadrat einer Dreiecksseite gleich ist der Summe der Quadrate der anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

Den Kosinussatz benutzt man, wenn …

  • 3 Seiten gegeben sind, 1 Winkel gesucht wird
  • 2 Seiten und 1 Winkel dazwischen gegeben sind, 3. Seite gesucht wird

Vorgehensweise:

  1. Mit gegebenen Größen passende Formel auswählen
  2. Nach gesuchter Größe umstellen
  3. Werte einsetzen
  4. Ausrechnen

Beispiel

gegeben: b=5cm; c=7cm; α= 57,1°

gesucht: Länge der Seite a.

  1. $a^2$=$b^2$+$c^2$-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)
  2. a=$\sqrt{b^2+c^2-2∗b∗c∗cos(α)}$
  3. a=$\sqrt{25+49-70∗0,543}$ a=$\sqrt{35,99}$
  4. a≈6cm<

Übungsaufgaben

1. Ein Dreieck ABC hat die Seiten a=2 cm, b=3 cm und den Winkel γ=100°. Wie lang ist die Seite c?

2. Ein Dreieck ABC hat die Seiten b = 4cm, c = 6cm und den Winkel α=60°. Wie lang ist die Seite a?

3. Ein Dreieck hat die Seiten a = 5cm, b = 3cm und c = 7cm. Wie groß ist der Winkel α?

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Lösungen

1. c≈3,88cm

2. a≈5,29cm

3. α≈38,21°