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Es gibt verschiedene Möglichkeiten ein Dreieck zu konstruieren. Es hängt immer von den gegebenen Abschnitten ab, wie man das jeweilige Dreieck konstruiern kann. Im folgeneden werden die grundlegenden Möglichkeiten aufgelistet, die aber nicht alle mit den gleichen Angaben zu lösen sind.

1) zeichnerisch

  • Kongruenzsätze

2) mathematisch

  • Winkelfunktion sin/ cos/ tan
  • Sinus- und Kosinussatz
  • Satz des Pythagoras
  • Katheten- und Höhensatz des Euklids

zeichnerisch

Kongruenzsätze: Kongruente Dreiecke und Kongruenzsätze

Wenn man nur 3 Eigenschaften des Dreiecks kennt, kann man mit Hilfe der 4 Kongruenzsätze ein Dreieck konstruieren

Legende:

s = Seite; w = Winkel

sss

konstruierbar wenn:

  • Länge der 3 Seiten gegeben sind

• Für jedes Dreieck gilt: Die Länge einer Seite muss immer kleiner sein, als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.

Ungleichungen:

• a < b + c

• b < a + c

• c < a + b

sws

konstruierbar wenn:

  • Länge zweier Seiten und Größe des Winkels

der zwischen den Seiten liegt gegeben sind

wsw

konstruierbar wenn:

  • Länge einer Seite und die Größe der anliegenden Winkel gegeben sind

Ssw

konstruierbar wenn:

  • Länge zweier Seiten und die Größe des Winkels

der gegenüber der längeren Seite liegt, gegeben sind

Vorgehen → genaue Konstruktion

• Mit einer ausgewählten Seite beginnen und danach restlichen Größen hinzufügen

  • Seitenlängen mit Zirkel eintragen; Winkel mit dem Geodreieck

Konstruktionsbeispiel:

I. Gerade zeichnen und Punkt A auswählen

II. Kreis um Punkt A zeichnen, Radius = Größe Seite c

III. Schnittpunkt der Geraden und des Kreises ergeben Eckpunkt B

IV. Kreis um B zeichnen, Radius = Größe Seite A

V. Kreis um A zeichnen, Radius = Größe Seite B

VI. Schnittpunkt der beiden Kreise ist Punkt C

mathematisch

Winkelfunktion sin/ cos/ tan: Sinus- und Kosinusfunktion

Legende:

H = Hypotenuse; A = Ankathete; G = Gegenkathete

Merkspruch: GAGA HühnerHaufenAG

• Sinus: sin(α) = G/H = a/c 

Beispiel: a = 3cm; c= 5cm -> a/c = 3/5 = 0,6 |arc sin = 36.87°

• Kosinus: cos(α) = A/H = b/c 

Beispiel: b = 3cm; c = 5cm ->b/c = 3/5 = 0,6 |arc cos = 53,13°

• Tangens: tan(α)=G/A = a/b 

Beispiel: a = 3cm; b = 3cm ->a/b = 3/3 = 1 |arc tan = 45°

Sinus- und Kosinussatz: https://de.serlo.org/mathe/geometrie/sinus-cosinus-tangens/sinussatz-kosinussatz/sinussatz-kosinussatz-allgemeinen-dreieck

• Sinussatz: a/sin(α)= b/sin(β)= c/sin(γ) → Winkelergebnis

  1. >Stellt Beziehung zwischen Winkel und gegenüberliegenden Seiten her

• Kosinussatz: 

      a² = b² + c² – 2bc • cos(α)
      b² = a² + c² – 2ac • cos(β)
      c² = a² + b² - 2ab • cos(γ)

→Stellt Beziehung zwischen 3 Seiten und einem Winkel her

  • Beispiel: b = 3cm; c = 7cm; α = 35º
  a² = 3² + 7² - 2 • 3 • 7 •cos(35°)
  a  ≈ 23,60

Pythagoras: Der Satz des Pythagoras 1)

• a² + b² = c² 2)

nur bei rechtwinkeligen Dreiecken möglich
  • Beispiel: a = 5cm; b = 3cm

c² = 5² + 3² 

  c² = 25 + 9
  c  = √34
  c  ≈ 5.83

Katheten- und Höhensatz des Euklids: https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras

nur bei rechtwinkeligen Dreiecken möglich

• Kathetensatz: a² = c • p und b² = c • q

  • Beispiel: a = 3cm; p = 5cm
   a² = c • p 
   3² = c • 5 
    c = 3²⁄ 5 
    c = 1.8

• Höhensatz: h² = p • q

  • Beispiel: p = 3cm;q = 5cm
  h² = 3 • 5 
  h² = 15² 
  h  = √(15) 
  h  ≈ 3.87
1)
hc = Höhe; p & q = Hypotenusenabschnitt
2)
a + b = Katheten; c = Hypotenuse