Legende:

A/A1/B/B1 … (Großbuchstaben): Ecke/Punkt

a/a1/b/b1 … (Kleinbuchstaben): Strecke

Z: Zentrum

k: Streckfaktor

Die Zentrische Streckung bedeutet in der Geometrie das Vergrößern oder Verkleinern aller Strecken einer Form in einem bestimmten Verhältnis, wo die Winkel gleich bleiben. Wenn eine Form vergrößert/verkleinert wird, verhalten sich Originalform und Vergrößerung/Verkleinerung ähnlich zu einander. D.h. das die Streckenlängen sich unterscheiden, aber das Streckenverhältnis bleibt gleich.

Bei der zentrischen Streckung gibt es den sogenannten Streckfaktor k. Mit diesem Streckfaktor werden alle Strecken einer Form gestreckt. Wie diese gestreckt werden, funktioniert durch ein Zentrum.

Das Zentrum Z ist irgendein bestimmter Punkt, dieser wird mit allen Punkten einer Form (bei Viereck/Dreieck alle Ecken), durch Geraden, verbunden.

Wenn zwei Formen unterschiedliche Längen besitzen, aber die selben Winkel und die selben Streckenverhältnisse haben, verhalten sich diese Formen ähnlich zueinander.

Gegeben ist ein Dreieck A B C

f: 3,61cm

g: 2cm

h: 3cm

Dieses Dreieck soll um das doppelte und maßstabsgetreu vergrößert werden. Das Doppelte bedeutet mit dem Streckfaktor 2. Maßstabsgetreu bedeutet zentrisch gestreckt.

Als erstes suchen wir uns irgendein Punkt als Zentrum aus.

Als nächstes führen wir eine Gerade durch das Zentrum und durch alle Ecken.

Der Abstand zwischen Zentrum und den einzelnen Ecken wird nun, mithilfe der Geraden verdoppelt (, da der Streckfaktor ja 2 ist), sodass wir drei neue Punkte auf den Geraden einzeichnen können. Der Abstand zwischen Zentrum und den neuen Punkten ist also doppelt so groß wie der Abstand zwischen Zentrum und den Originalpunkten.

Nun müssen wir die neuen Punkte auf den Geraden miteinander verbinden und wir erhalten ein neues Dreieck. Dieses Dreieck ist zentrisch gestreckt und ist somit doppelt so groß wie das Originaldreieck, da der Streckfaktor 2 lautet.

Das neue Dreieck:

l: 6cm

m: 4cm

n: 7,22cm

Die Winkel bleiben gleich groß. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke sich ähnlich zueinander verhalten.

Natürlich kann man den Weg umgekehrt gehen, d.h. es sind 2 ähnliche Formen gegeben und der Streckfaktor muss herausgefunden werden. Für die Rechnung des Streckfaktors gilt:

$k=\frac{a}{a1}=\frac{b}{b1}$

D.h. die gestreckte Strecke wird durch die Originalstrecke dividiert und so erhält man den Streckfaktor k.

Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1, das zum Dreieck A B C zentrisch gestreckt wurde und gesucht wird der Streckfaktor k.

Das Originaldreieck:

a1: 8,94 cm

b1: 8 cm

c1: 4 cm

Das gestreckte Dreieck:

a: 17,88 cm

b: 16 cm

c: 8 cm

Um den Streckfaktor k auszurechnen, müssen wir die gestreckte Strecke mit dem Original dividieren.

$k=\frac{a}{a1}=\frac{b}{b1}=\frac{c}{c1}$

$k=\frac{17,88}{8,94}=\frac{16}{8}=\frac{8}{4}$

$k=2$

Der Streckfaktor beträgt also 2.

Man kann also mit einem Streckfaktor Formen strecken und man kann mit gestreckten Formen den Streckfaktor herausfinden und man geht bei der zentrischen Streckung den einen oder anderen Weg.

Ja, das funktioniert ebenfalls mit negativen Streckfaktoren. Normalerweise suchen wir uns bei der zentrischen Streckung neue Punkte mithilfe des Zentrums Z wie in Beispiel 1, sodass die Originalform zwischen Zentrum und der gestreckten Form liegt, wenn es zentrisch vergrößert wurde, oder dass die Originalform hinter der gestreckten Form liegt, wenn diese zentrisch verkleinert wurde.

Bei negativen Streckfaktoren ist das anders. Wenn wir ein Dreieck zentrisch Strecken und nun mit einem negativen Streckfaktor, z.B. -1, wird dieses nun mithilfe der Geraden des Zentrums Z gegenüber der Originalpunkte verbunden, d.h. das Zentrum liegt zwischen Original und Streckung, dabei wird das gestreckte Dreieck umgedreht.

Der negative Streckfaktor spiegelt die Originalform und je kleiner die negative Zahl (-2, -3, -4, etc.), desto größer wird die neue Gestreckte Form.

https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze

Ja, das funktioniert tatsächlich. Es gibt 2 verschiedene Möglichkeiten eine Form zentrisch, ohne Streckfaktor, zu strecken.

Möglichkeit 1: Man kann eine Form mithilfe von Parallelen zentrisch strecken.

Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 und dieses soll mit Parallelen zentrisch gestreckt werden. Wir nehmen eine Gerade auf der Strecke c1 und irgendeine parallele über dem Dreieck, wo wir dort 2 neue Punkte (A1 und B1) zeichnen können. Diese Punkte verbinden wir miteinander und wir erhalten die Strecke c. Als nächstes zeichnen wir eine Gerade auf der Strecke a1 und dazu eine parallele Gerade der durch den neuen Punkt B geht. Dort wo die Parallele die Gerade des Zentrums Z schneidet, wird der neue Punkt C eingezeichnet. Nun werden alle Punkte verbunden und wir erhalten ein gestrecktes Dreieck A B C ganz ohne Streckfaktor.

Möglichkeit 2: Man kann eine Form mithilfe von Kreisen zentrisch strecken.

Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 und dieses soll mit Kreisen zentrisch gestreckt werden. Wir nehmen Punkt A1 als den Mittelpunkt unseres Kreises, dieser soll einen Radius bis zum Zentrum Z haben. Dort wo die Gerade des Zentrums den Kreis schneidet, wird der neue Punkt A eingezeichnet. Das gleiche Spiel machen wir mit den Punkten B1 und C1 und wir erhalten die Punkte A B C, diese werden miteinander verbunden und wir erhalten ein gestrecktes Dreieck A B C ganz ohne Streckfaktor.

$1<k$: Vergrößerung

$0<k<1$: Verkleinerung

$k< -1$: Vergrößerung+Spiegelung

$-1<k<1$: Verkleinerung+Spiegelung

$k=1$: Keine Veränderung

Denn dann müsste gelten:

$k=\frac{0}{a1}=0$ und eine Strecke mit 0cm Länge gibt es nicht !!!

Für die Überprüfung gilt:

$k\cdot a1=a$

Wenn man den Streckfaktor mit der Originalstrecke multipliziert, erhält man die neue Strecke. Es sei denn der Streckfaktor ist negativ, denn das Ergebnis wäre ebenfalls negativ und eine Strecke mit -xcm Länge gibt es nicht. Bei negativen Streckfaktor muss man diesen mit der Originalstrecke dividieren und man erhält die neue und verkleinerte Strecke.

Zum Beispiel:

$b1:k=\frac{b1}{k}=b$

a) Gegeben ist ein Rechteck mit den Längen:

15cm Breite

11cm Höhe

Dieses wird so zentrisch gestreckt, dass die neuen Längen so ergeben:

54cm Breite

39,6cm Höhe

Wie lautet der Streckfaktor ???

b) Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 mit den Längen:

a1: 4cm

b1: 6cm

c1: 7,5cm

Dieses Dreieck soll, mit dem Streckfaktor -1, zentrisch gestreckt werden. Wie lauten die Streckenlängen des neuen Dreiecks ???

c) Das Dreieck A B C wurde mit dem Streckfaktor 0,5 verkleinert und hat nun die Längen:

a: 10cm

b: 8cm

c: 4cm

Welche Längen hat das Originaldreieck A1 B1 C1 ???

Spongebob will ein Quadrat, mit den Längen 2cm, vergrößern. Dazu benutzt er den Streckfaktor 2. Spongebob markiert alle 4 Ecken der Form, sucht sich ein Zentrum Z, verbindet dieses Zentrum mit allen Punkten und zeichnet auf den Geraden des Zentrums 4 neue Punkte. Die 4 neuen Punkte verbindet er und er erhält ein zentrisch gestrecktes Quadrat. Der Abstand von Originalecke zur neuen Ecke ist doppelt so groß wie der Abstand von Zentrum zur Originalecke. Plötzlich kommt Patrick und sagt: „Das ist total falsch, Spongebob !!! Du hast dir die Arbeit auch viel zu schwer gemacht“.

a) Begründe, ob Patrick richtig liegt und ob Spongebob einen Fehler gemacht hat, wenn ja warum und was müsste Spongebob machen ???

b) Warum hat Spongebob sich die Arbeit zu schwer gemacht ???

Wurde dieses Rechteck korrekt zentrisch gestreckt und sind die Dreiecke ähnlich ??? Mit Begründung.

a) $k=\frac{54}{15}=\frac{39,6}{11}=3,6$

Der Streckfaktor beträgt 3,6.

b)

a: 4cm

b: 6cm

c: 7,5cm

Die Längen bleiben gleich, da der Streckfaktor -1 das Dreieck nur spiegelt.

a) Patrick hat recht, denn Spongebob hat das Quadrat nicht mit dem Streckfaktor 2 gestreckt, sondern mit 3, da der Abstand von Originalecke und neue Ecke doppelt so groß ist wie der Abstand von Zentrum und Originalecke. Die Abstände hätten gleich groß sein müssen.

b) Spongebob hat sich die Arbeit zu schwer gemacht, denn ALLE Quadrate sind ähnlich zueinander. Alle Quadrate haben die selben Winkel (immer 90°) und die Längen sind auch ALLE gleich groß. D.h. dass Spongebob eigentlich nur ein anderes Quadrat zeichnen müsste, das doppelt so groß ist. Dafür braucht man kein Zentrum oder Geraden. Man kann einfach abmessen oder Kästchen zählen.

Nein, dieses Dreieck wurde falsch zentrisch gestreckt, denn die Abstände von A bis A1 und B bis B1 sind halb so groß, wie die Abstände von Z bis A und Z bis B, während der Abstand von C bis C1 nicht halb so groß ist, wie der Abstand von Z bis C, der Abstand von C bis C1 ist ein bisschen zu groß. Außerdem müssten die Die Strecken a und a1 und b und b1 parallel zueinander sein. Hier sind sie es nicht. D.h. die Dreiecke verhalten sich nicht ähnlich.