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faecher:mathematik:mathebuch:wurzel [2017/04/05 06:03] nguyend |
faecher:mathematik:mathebuch:wurzel [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| <note tip>**Wurzel ziehen** $\sqrt{}$</note> | <note tip>**Wurzel ziehen** $\sqrt{}$</note> | ||
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| + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:arzt.jpg?300|}} | ||
| 1. **Erklärung** | 1. **Erklärung** | ||
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| 4. **Wurzelgesetze** | 4. **Wurzelgesetze** | ||
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| + | Bildquelle:https://de.toonpool.com/cartoons/Ausbildung_172854#img9 | ||
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| $3^2=9$ | $3^2=9$ | ||
| - | $\sqrt[2]{9}$ | + | $\sqrt[2]{9}=3$ |
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| {{:faecher:mathematik:mathebuch:wurzel.jpg?300|}} | {{:faecher:mathematik:mathebuch:wurzel.jpg?300|}} | ||
| + | Bildquelle: https://www.google.de/search?q=wurzel+ziehen+radikand&client=ubuntu&hs=iaP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwijnPeg15HTAhUiD5oKHXfvBbUQ_AUICSgC&biw=1280&bih=901#imgrc=PNlFkvqap-MlMM: | ||
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| $\sqrt[2]{a}$ spricht man wie folgt aus : die zweite Wurzel von a | $\sqrt[2]{a}$ spricht man wie folgt aus : die zweite Wurzel von a | ||
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| Das gleiche gilt für Ähnliches : | Das gleiche gilt für Ähnliches : | ||
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| $\sqrt[3]{a}$⇒ dritte Wurzel von a | $\sqrt[3]{a}$⇒ dritte Wurzel von a | ||
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| $\sqrt[8]{a}$⇒ achte Wurzel von a | $\sqrt[8]{a}$⇒ achte Wurzel von a | ||
| etc. | etc. | ||
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| Diese nennt man Quadratwurzel. | Diese nennt man Quadratwurzel. | ||
| - | **Hinweis:** Es gibt nur wenige Zahlen, bei denen das Wurzelziehen so einfach ist. Dies sind die Zahlen 1 ,4, 9, 16, 25, 36 etc. , da beim ziehen aus diesen Wurzeln eine natürliche Zahl raus kommt. Bei komplizierteren Aufgaben empfiehlt sich der Einsatz eines Taschenrechners. | + | **Hinweis:** Es gibt nur wenige Zahlen, bei denen das Wurzelziehen so einfach ist. Dies sind die Zahlen 1 ,4, 9, 16, 25, 36 etc. , da beim ziehen aus diesen Wurzeln eine natürliche Zahl raus kommt. $\sqrt{12}$ ist eine irrationale Zahl. Sie ist nicht periodisch und kann auch nicht als Bruch abgestellt werden. Die Lösung wird daher mit nachkommerstellen unendlich weitergeführt. Dabei empfiehlt sich der Einsatz eines Taschenrechners, aber immer mit dem exakten Wert weiterrechnen. |
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| **ctrl^** → **$\sqrt[a]{...}$** | **ctrl^** → **$\sqrt[a]{...}$** | ||
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| + | **ctrl** **var** (**irgend ein Buchstabe**) → speichert das vorherige Ergebnis | ||
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| - | + | | |
| - | + | ||
| - | | + | |
| ======Wichtig beim Umgang====== | ======Wichtig beim Umgang====== | ||
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| - | <WRAP center round important 60%> | ||
| - | </WRAP> | ||
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| Zahl rauskommen kann z.B. | Zahl rauskommen kann z.B. | ||
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| - | $6^\left(-3\right)=0,00463...$ oder $6^3=216$ | + | $6^\left(-2\right)=0,027...$ oder $6^2=36$ |
| - | | + | |
| - | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:wz2.jpg?300 |}} | |
| - | + | ||
| - | Ebenfalls wichtig ist, dass das **Ergebniss** einer geraden Wurzel **sowohl positiv | + | |
| + | Bildquelle:http://surrey.de/galerien/bilder-galerie/kategorie/duden-schuelerhilfen | ||
| + | |||
| + | Bei einem **ungeraden Wurzelexponenten** erhalten wir hingegen, trotz eines negativen Radikanten, ein definierbares Ergebnis z.B. | ||
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| + | $\sqrt[3]{-125}$ = **-**5 | ||
| + | |||
| + | Das Ergebnis ist definierbar, weil : | ||
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| + | $\left(-5\right)^3$ = $\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$ = **-**125 | ||
| + | |||
| + | Ebenfalls wichtig ist, dass das **Ergebnis** einer **geraden** Wurzel **sowohl positiv | ||
| als auch negativ** ist z.B. | als auch negativ** ist z.B. | ||
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| - | $\sqrt{25}=\pm$ weil $5^2=25$ und $\left(-5\right)^2=25$ | + | $\sqrt{25}=\pm5$ weil $5^2=25$ und $\left(-5\right)^2=25$ |
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| + | |||
| + | Die Wurzel ist eine positive Zahl. Wollen wir diese Zahl negativ haben, müssen wir die Wurzel • **-**1 rechnen | ||
| + | und nicht das **-** in die Wurzel setzen z.B. | ||
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| + | **-**1•$\sqrt{16}$ = **-**4 und nicht $\sqrt{-16}$ | ||
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| + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:aha.jpg?300 |}} | ||
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| + | Bildquelle:http://surrey.de/galerien/bilder-galerie/kategorie/duden-schuelerhilfen | ||
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| + | Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da die Potenz von Null = Null ergibt | ||
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| - | + | $\sqrt[x]{0}$ = 0 ---→ $0^x$ = 0 | |
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| 6) $\sqrt{122}$ | 6) $\sqrt{122}$ | ||
| - | 7) $\sqrt | + | 7) $\sqrt[2]{16}$ |
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| - | **Lösung** | + | Lösungen ganz unten ↓ |
| - | 8-) | + | |
| - | + | ||
| - | 1) ± 9 | + | |
| - | + | ||
| - | 2) ± 10 | + | |
| - | + | ||
| - | 3) ± 4 | + | |
| - | + | ||
| - | 4) ± 2 | + | |
| - | + | ||
| - | 5) Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen | + | |
| - | m( | + | |
| - | + | ||
| - | 6) ± 11,045... | + | |
| - | + | ||
| - | 7) ± 4 | + | |
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| - | Beim wurzelziehen gibt es auch einige Gesetze, die das Rechnen erleichtern. | + | Beim Wurzelziehen gibt es auch einige Gesetze, die das Rechnen erleichtern. |
| Hier sind sie aufgeführt : | Hier sind sie aufgeführt : | ||
| - | $\sqrt[n]{a}$ • $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a•b}$ | + | __Wurzeln multiplizieren/dividieren :__ |
| + | |||
| + | $\sqrt[n]{a}$ • $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a•b}$ | ||
| + | |||
| + | $\sqrt[4]{5}•\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{5•3}$ = $\sqrt[4]{15}=1,967...$ | ||
| + | |||
| + | ------------------------------------------------------------------- | ||
| $\sqrt[n]{a}$ **:** $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a:b}$ | $\sqrt[n]{a}$ **:** $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a:b}$ | ||
| - | $\sqrt[n]{a}$ **+** $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a+b}$ | + | $\sqrt[3]{32}:\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[3]{32:2}=2,519...$ |
| + | |||
| + | __Wurzeln potenzieren :__ | ||
| - | $\sqrt[n]{a}$ **-** $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a-b}$ | ||
| $\sqrt[n]{a^n}$ = a | $\sqrt[n]{a^n}$ = a | ||
| + | |||
| + | $\sqrt[9]{12^9}=12$ | ||
| + | |||
| + | ----------------------------------------------------------- | ||
| + | |||
| $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ = a | $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ = a | ||
| + | |||
| + | $\left(\sqrt[9]{13}\right)^9=13$ | ||
| + | |||
| + | __Wurzeln in Potenzen umwandeln :__ | ||
| + | |||
| $\sqrt[n]{a}$ = $a^\frac{1}{n}$ | $\sqrt[n]{a}$ = $a^\frac{1}{n}$ | ||
| + | |||
| + | $\sqrt[3]{14}=14^\frac{1}{3}$ | ||
| + | |||
| + | ----------------------------------------------------------------- | ||
| + | |||
| + | $\sqrt[-n]{a^d}$ = $\frac{1}{\sqrt[n]{a^d}}$ | ||
| + | |||
| + | $\sqrt[-5]{4^3}=\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ | ||
| + | |||
| + | __Wurzeln radizieren :__ | ||
| + | |||
| $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ = $\sqrt[m•n]{a}$ | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ = $\sqrt[m•n]{a}$ | ||
| + | |||
| + | $\sqrt[4]{\sqrt[5]{6}}=\sqrt[4•5]{6}=\sqrt[20]{6}=1,093...$ | ||
| + | |||
| + | <WRAP center round help 60%> | ||
| + | Wer fragen zur Herleitung hat:http://www.mathematrix.de/wurzelgesetze/ | ||
| + | </WRAP> | ||
| + | |||
| Zeile 164: | Zeile 211: | ||
| Bei Aufgaben, wo der Exponent unbekannt ist ( $4^x$ ) hilft | Bei Aufgaben, wo der Exponent unbekannt ist ( $4^x$ ) hilft | ||
| - | wurzelziehen nicht. Da muss man den Logarythmus verwenden. | + | Wurzelziehen nicht. Da muss man den Logarythmus verwenden. |
| Zeile 179: | Zeile 226: | ||
| 2) $\sqrt[19]{7^19}$ | 2) $\sqrt[19]{7^19}$ | ||
| - | 3) $\sqrt{20}$ **-** $\sqrt{4}$ | + | 3) $\sqrt[3]{\sqrt[6]{9}}$ |
| - | 4) $\sqrt[3]{\sqrt[6]{9}}$ | + | 4) $x^\left(16\right)$ = 10 |
| - | 5) $x^16$ = 10 | + | 5) $\left(\sqrt[9]{10}\right)^9$ |
| - | 6) $\left(\sqrt[9]{10}\right)^9$ | + | 6) $\sqrt{2}$ **:** $\sqrt{4}$ |
| - | 7) $\sqrt{2}$ **:** $\sqrt{4}$ | + | 7) $\sqrt[5]{243}$ **+** $\sqrt[3]{216}$ |
| - | 8) $\sqrt[5]{243}$ **+** $\sqrt[3]{216}$ | ||
| - | **Lösung** | + | |
| + | |||
| + | |||
| + | **Lösung Aufgabe 1** | ||
| + | 8-) | ||
| + | |||
| + | 1) ± 9 | ||
| + | |||
| + | 2) ± 10 | ||
| + | |||
| + | 3) ± 4 | ||
| + | |||
| + | 4) ± 2 | ||
| + | |||
| + | 5) Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen | ||
| + | m( | ||
| + | |||
| + | 6) ± 11,045... | ||
| + | |||
| + | 7) ± 4 | ||
| + | |||
| + | **Lösung Aufgabe 2** | ||
| :-O | :-O | ||
| Zeile 200: | Zeile 267: | ||
| 2) ± 7 | 2) ± 7 | ||
| - | 3) $\sqrt{20-4}$ = $\sqrt{16}$ = ± 4 | + | 3) $\sqrt[3•6]{9}$ = $\sqrt[18]{9}$ = ± 1,129... |
| - | 4) $\sqrt[3•6]{9}$ = $\sqrt[18]{9}$ = ± 1,129... | + | 4) $x^\left(16\right)$ = 10 | $\sqrt[16]{10}$ |
| - | + | ||
| - | 5) $x^16$ = 10 | $\sqrt[16]{10}$ | + | |
| x = ± 1,154... | x = ± 1,154... | ||
| - | 6) ± 10 | + | 5) ± 10 |
| - | 7) $\sqrt{2:4}$ = ± 0,707... | + | 6) $\sqrt{2:4}$ = ± 0,707... |
| - | + | ||
| - | 8) ± 3 + ± 6 = 9 ; -9 | + | |
| + | 7) ± 3 + ± 6 = 9 ; -9 | ||
| + | | ||
| <WRAP center round tip 60%> | <WRAP center round tip 60%> | ||