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--- faecher:mathematik:mathebuch:wurzel [2017/04/03 14:14]
riechem
+++ faecher:mathematik:mathebuch:wurzel [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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-======Wurzel ziehen======
+<note tip>**Wurzel ziehen** $\sqrt{}$</note>
-<note tip>Erklärt</note>
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:arzt.jpg?300|}}
 . **Erklärung**
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 . **Wurzelgesetze**
+Bildquelle:https://de.toonpool.com/cartoons/Ausbildung_172854#img9
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 Das Wurzelziehen kehrt im allgemeinem das Quadrierem um.
-Die Wurzel einer Beispielzahl a ist diejenige Zahl, die wenn man sie mit
+Die Wurzel einer Beispielzahl a ist diejenige Zahl,
-sich selbst multipliziert, wieder a ergibt z.B. :
+die wenn man sie mit sich selbst multipliziert, wieder a ergibt z.B. :
 $3^2=9$
-$\sqrt[2]{9}$
+$\sqrt[2]{9}=3$
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 <WRAP center round tip 60%>
-Wer Fragen zum Quadrieren hat
+Wer Fragen zum Quadrieren hat :
 http://www.mathe-lexikon.at/arithmetik/potenzschreibweise/quadrieren.html
 </WRAP>
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-======Weiters======
+======Weiteres======
+{{:faecher:mathematik:mathebuch:wurzel.jpg?300|}}
+Bildquelle: https://www.google.de/search?q=wurzel+ziehen+radikand&client=ubuntu&hs=iaP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwijnPeg15HTAhUiD5oKHXfvBbUQ_AUICSgC&biw=1280&bih=901#imgrc=PNlFkvqap-MlMM:
 $\sqrt[2]{a}$ spricht man wie folgt aus :  die zweite Wurzel von a
 Das gleiche gilt für Ähnliches :
 $\sqrt[3]{a}$⇒ dritte Wurzel von a
 $\sqrt[8]{a}$⇒ achte Wurzel von a
 etc.
 Jedoch gibt es bei $\sqrt[2]{a}$ eine "besonderheit"   $\sqrt[2]{a}$ = $\sqrt{a}$
+Diese nennt man Quadratwurzel.
+**Hinweis:** Es gibt nur wenige Zahlen, bei denen das Wurzelziehen so einfach ist. Dies sind die Zahlen 1 ,4, 9, 16, 25, 36 etc. , da beim ziehen aus diesen Wurzeln eine natürliche Zahl raus kommt. $\sqrt{12}$ ist eine irrationale Zahl. Sie ist nicht periodisch und kann auch nicht als Bruch abgestellt werden. Die Lösung wird daher mit nachkommerstellen unendlich weitergeführt. Dabei empfiehlt sich der Einsatz eines Taschenrechners, aber immer mit dem exakten Wert weiterrechnen.
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 **ctrl $x^2$**  →  **$\sqrt{...}$**
-**ctrl^**           →  **$\sqrt[...]{...}$**
+**ctrl^**           →  **$\sqrt[a]{...}$**
+**ctrl** **var** (**irgend ein Buchstabe**) →  speichert das vorherige Ergebnis
 ======Wichtig beim Umgang======
-<note important></note>
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 Zahl rauskommen kann z.B.
-$6^-3=0,00463...$   oder   $6^3=216$
+$6^\left(-2\right)=0,027...$   oder   $6^2=36$
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:wz2.jpg?300 |}}
-Ebenfalls wichtig ist, dass das **Ergebniss** einer geraden Wurzel **sowohl positiv
+Bildquelle:http://surrey.de/galerien/bilder-galerie/kategorie/duden-schuelerhilfen
+Bei einem **ungeraden Wurzelexponenten** erhalten wir hingegen, trotz eines negativen Radikanten, ein  definierbares Ergebnis z.B.
+$\sqrt[3]{-125}$ = **-**5
+Das Ergebnis ist definierbar, weil :
+$\left(-5\right)^3$ = $\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$ = **-**125
+Ebenfalls wichtig ist, dass das **Ergebnis** einer **geraden** Wurzel **sowohl positiv
 als auch negativ** ist z.B.
-$\sqrt{25}=\pm$   weil   $5^2=25$  und  $\left(-5\right)^2=25$
+$\sqrt{25}=\pm5$   weil   $5^2=25$  und  $\left(-5\right)^2=25$
+Die Wurzel ist eine positive Zahl. Wollen wir diese Zahl negativ haben, müssen wir die Wurzel • **-**1 rechnen
+ und nicht das **-** in die Wurzel setzen z.B.
+**-**1•$\sqrt{16}$ = **-**4            und nicht    $\sqrt{-16}$
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:aha.jpg?300 |}}
+Bildquelle:http://surrey.de/galerien/bilder-galerie/kategorie/duden-schuelerhilfen
+Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da die Potenz von Null = Null ergibt
+$\sqrt[x]{0}$ = 0  ---→  $0^x$ = 0
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 )   $\sqrt{122}$
-)   $\sqrt
+)   $\sqrt[2]{16}$
-**Lösung :**
+Lösungen ganz unten ↓
+======Wurzelgesetze======
+Beim Wurzelziehen gibt es auch einige Gesetze, die das Rechnen erleichtern.
+Hier sind sie aufgeführt :
+__Wurzeln multiplizieren/dividieren :__
+$\sqrt[n]{a}$ • $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a•b}$
+$\sqrt[4]{5}•\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{5•3}$ = $\sqrt[4]{15}=1,967...$
+-------------------------------------------------------------------
+$\sqrt[n]{a}$ **:** $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a:b}$
+$\sqrt[3]{32}:\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[3]{32:2}=2,519...$
+__Wurzeln potenzieren :__
+$\sqrt[n]{a^n}$ = a
+$\sqrt[9]{12^9}=12$
+-----------------------------------------------------------
+$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ = a
+$\left(\sqrt[9]{13}\right)^9=13$
+__Wurzeln in Potenzen umwandeln :__
+$\sqrt[n]{a}$ = $a^\frac{1}{n}$
+$\sqrt[3]{14}=14^\frac{1}{3}$
+-----------------------------------------------------------------
+$\sqrt[-n]{a^d}$ = $\frac{1}{\sqrt[n]{a^d}}$
+$\sqrt[-5]{4^3}=\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$
+__Wurzeln radizieren :__
+$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ = $\sqrt[m•n]{a}$
+$\sqrt[4]{\sqrt[5]{6}}=\sqrt[4•5]{6}=\sqrt[20]{6}=1,093...$
+<WRAP center round help 60%>
+Wer fragen zur Herleitung hat:http://www.mathematrix.de/wurzelgesetze/
+</WRAP>
+Gleichunge, wo der Exponent gegeben und der Radikant gesucht ist,
+lassen sich durch das Wurzelziehen lösen.
+$x^4$ = 81    | $\sqrt[4]{81}$
+x = 3
+Bei Aufgaben, wo der Exponent unbekannt ist ( $4^x$ ) hilft
+Wurzelziehen nicht. Da muss man den Logarythmus verwenden.
+<WRAP center round tip 60%>
+Wer Fragen zum lagorythmieren hat :
+http://www.mathebibel.de/logarithmus
+</WRAP>
+**Hier noch ein paar Übungsaufgaben**
+-)
+)   $\sqrt{7}$ • $\sqrt{8}$
+)   $\sqrt[19]{7^19}$
+)   $\sqrt[3]{\sqrt[6]{9}}$
+)   $x^\left(16\right)$ = 10
+)   $\left(\sqrt[9]{10}\right)^9$
+)   $\sqrt{2}$ **:** $\sqrt{4}$
+)  $\sqrt[5]{243}$  **+** $\sqrt[3]{216}$
+**Lösung Aufgabe 1**
 -)
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 )  ± 11,045...
 )   ± 4
+**Lösung Aufgabe 2**
+:-O
+)   $\sqrt{7•8}$ = $\sqrt{56}$ = ± 7,483...
-======Wurzelgesetze======
+)   ± 7
+)   $\sqrt[3•6]{9}$ = $\sqrt[18]{9}$ = ± 1,129...
+)   $x^\left(16\right)$ = 10      | $\sqrt[16]{10}$
+x = ± 1,154...
-Beim wurzelziehen gibt es auch einige Gesetze, die das Rechnen erleichtern.
+)   ± 10
+)   $\sqrt{2:4}$ = ± 0,707...
+)   ± 3 + ± 6 = 9 ; -9
+<WRAP center round tip 60%>
+Wer noch mehr über´s wurzelziehen wissen will : http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/wurzelziehen.html
+</WRAP>
-$\sqrt{a}$

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