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faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2017/05/05 16:53]
klussme [Asymptoten] 		faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2024/10/01 20:13] (aktuell)
109.42.112.185 [Potenzielles Wachstum - Potenzfunktionen]
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 {{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​graph_expo.png?​300|}} {{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​graph_expo.png?​300|}}
 ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen====
 +
 +Eine Bakterienkultur vermehrt sich täglich.\\
 +Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:​\\
 +{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​xy_expo.png?​300|}}\\
 +In diesem Falle:\\
 +$x=Zeit (in$ $Tagen)$\\
 +$y=Bakterienanzahl$\\
 +Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.\\
 +
 +===Aufgabe:​===
 +Ermittle die Funktionsgleichung.\\
 +
 +Wir suchen $f(x)=a·b^2$\\
 +Dies geht mit zwei verschiedenen Varianten.\\
 +
 +**Variante 1:** ☞ "​graphisch ermitteln"​\\
 +Zuerst wollen wir den Startwert (a) ermitteln.\\
 +So müssen wir also das Feld, des zugehörigen y-Wertes zu x = 0, aus der Tabelle errechnen/​das Feld füllen.\\
 +→ $a=1000:​1,​7=588,​23...$\\
 +
 +Als nächstes müssen wir den Wachstumsfaktor (b) herausfinden. Diese Arbeit haben wir bereits mit dem Errechnen der Pfeile getan → $b=1,7$\\
 +Daraus ergibt sich:\\
 +$f(x)=588,​23...·1,​7^x$\\
 +
 +**Variante 2:** ☞ rechnerisch\\
 +Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichung mit den Werten des ersten Tag.\\
 +Daraus ergibt sich:\\
 +$g(x)=1000·b^x$\\
 +Nun setzen wir einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))ein.\\
 +Zum Beispiel:\\
 +$8352,​1=1000·b^4$\\
 +Die 4 ergibt sich daraus, dass die Werte vier Perioden auseinander liegen.\\
 +Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:\\
 +$8352,​1=1000·b^4$\\
 +$8352,​1:​1000=b^4$\\
 +$b=1,7$\\
 +Nun müssen wir nur noch wie bei Variante 1 den Startwert (a) ermitteln.\\
 +$a=1000:​1,​7=588,​23...$\\
 +Daraus ergibt sich:\\
 +$f(x)=588,​23...·1,​7^x$
  
  
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 Waagerechte Asymptote:​\\ Waagerechte Asymptote:​\\
-{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​asymptote_2.png?​300|Waagerechte Asymptote}}+{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​asymptote_2.png?​300|Waagerechte ​Asymptote}}\\ 
 + 
 +Senkrechte Asymptote:​\\ 
 +{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​asymptote_1.png?​300|Senkrechte Asymptote}}\\ 
 + 
 +Waagerechte und senkrechte Asymptote:​\\ 
 +{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​asymptote_3.png?​300|Waagerechte und senkrechte ​Asymptote}}
 ======Übungsaufgaben====== ======Übungsaufgaben======
  
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 =====Übungsaufgabe 6===== =====Übungsaufgabe 6=====
 +
 +Gegeben ist ein Graph:\\
 +{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​graph_expo_ab_-.png?​300|}}\\
 +Mit den Messwerten:​\\
 +{{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tabelle_-.png?​300|}}\\
 +Ermittle die Funktionsgleichung.\\
 +
 +<​hidden>​Variante 1:\\
 +Startwert (a) ermitteln.\\
 +→ $a=50,​4:​0,​9=56$\\
 +
 +Wachstumsfaktor (b) herausfinden. → Pfeile\\
 + ​$b=0,​9$\\
 +**Antwort:​** $f(x)=56·0,​9^x$\\
 +
 +
 +Variante 2:\\
 +Funktionsgleichung erstellen mit den Werten der ersten Zeile.\\
 +→ $f(x)=50,​4·b^x$\\
 +Einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))einsetzen.\\
 +Zum Beispiel:\\
 +$33,​06744=50,​4·b^4$\\
 +Funktionsgleichung ausrechnen:​\\
 +$33,​06744=50,​4·b^4$\\
 +$33,​06744:​50,​4=b^4$\\
 +$b=0,9$\\
 +Startwert (a) ermitteln.\\
 +$a=50,​4:​0,​9=56$\\
 +**Antwort:​** $f(x)=56·0,​9^x$</​hidden>​
 =====Übungsaufgabe 7===== =====Übungsaufgabe 7=====