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faecher:mathematik:mathebuch:sinus_und_kosinusfunktion [2017/04/24 14:11] barescr [Übungsaufgabe- Parameter bestimmen] |
faecher:mathematik:mathebuch:sinus_und_kosinusfunktion [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| - | ====Sinus- und Kosinusfunktion==== | + | ======Sinus- und Kosinusfunktion====== |
| Ob du es glaubst oder nicht, das Arbeiten mit diesen Funktionen kann ganz einfach sein. =) | Ob du es glaubst oder nicht, das Arbeiten mit diesen Funktionen kann ganz einfach sein. =) | ||
| - | ====Gemeinsamkeiten & Allgemeines==== | + | |
| + | =====Herleitung===== | ||
| + | Die Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich aus dem Einheitskreis herleiten. | ||
| + | <note important>Hier kannst du dir diesen noch einmal genauer angucken! ;-) | ||
| + | [[faecher:mathematik:mathebuch:sinus_kosinus_und_tangens_am_einheitskreis|Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis]]</note> | ||
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| + | Je nachdem, wie groß der Winkel ∝ des **rechtwinkligen**Dreiecks im Einheitskreis ist, verändern sich auch die x- und y- Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Stellt man nun die y- Koordinate abhängig vom Winkel Alpha in einem Diagramm dar, erhält man die Sinuskurve. | ||
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| + | Das bedeutet: y= sin(∝). | ||
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| + | Wenn man dasselbe nun auch mit der x- Koordinate macht, erhält man die Kosinuskurve. | ||
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| + | Das bedeutet: x= cos(∝). | ||
| + | <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/sinus-_und_kosinuskurve_im_einheitskreis.ggb</ggb> | ||
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| + | =====Gemeinsamkeiten & Allgemeines===== | ||
| Erst einmal ist es wichtig zu wissen, dass Sinus und Kosinusfunktionen mehrere Gemeinsamkeiten haben: | Erst einmal ist es wichtig zu wissen, dass Sinus und Kosinusfunktionen mehrere Gemeinsamkeiten haben: | ||
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| Sinus: //f(x)= a•sin(b•(x-c))+d// und Kosinus:// f(x)= a•cos(b•(x-c))+d// | Sinus: //f(x)= a•sin(b•(x-c))+d// und Kosinus:// f(x)= a•cos(b•(x-c))+d// | ||
| - | ====Die wichtigsten Begriffe==== | + | =====Die wichtigsten Begriffe===== |
| Um das Folgende zu verstehen, müssen ein paar Begriffe bekannt sein. | Um das Folgende zu verstehen, müssen ein paar Begriffe bekannt sein. | ||
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| - | ====Wie wird der Graph durch die verschiedenen Parameter verändert?==== | + | =====Wie wird der Graph durch die verschiedenen Parameter verändert?===== |
| Im weiteren Verlauf wird nun erklärt, wie man Sinus- und Kosinusfunktionen mit den einzelnen Parameter verändern kann. Da der Einfluss der Parameter bei Sinus- und Kosinusfunktionen identisch ist, wird es hier an der Sinuskurve erklärt. | Im weiteren Verlauf wird nun erklärt, wie man Sinus- und Kosinusfunktionen mit den einzelnen Parameter verändern kann. Da der Einfluss der Parameter bei Sinus- und Kosinusfunktionen identisch ist, wird es hier an der Sinuskurve erklärt. | ||
| - | **__Streckung oder Stauchung in y- Richtung:__** | + | ====Streckung oder Stauchung in y- Richtung:==== |
| Der Parameter a ist der Streckfaktor des Graphen in y- Richtung und verändert den Wertebereich dessen, jedoch nicht die Nullstellen. Der Betrag von a ist die sogenannte Amplitude und steht als Faktor also vor dem Sinus. | Der Parameter a ist der Streckfaktor des Graphen in y- Richtung und verändert den Wertebereich dessen, jedoch nicht die Nullstellen. Der Betrag von a ist die sogenannte Amplitude und steht als Faktor also vor dem Sinus. | ||
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| - | **__Verschiebung in y- Richtung:__** | + | ====Verschiebung in y- Richtung:==== |
| Der Parameter d gibt an, um wieviele Einheiten der Graph an der y- Achse verschoben wird. Dabei ändert sich jedoch nicht die Periodenlänge. Diese Verschiebung in y- Richtung gibt an, wo die Symmetrieachse liegt, und steht als Summand hinter dem Sinus. | Der Parameter d gibt an, um wieviele Einheiten der Graph an der y- Achse verschoben wird. Dabei ändert sich jedoch nicht die Periodenlänge. Diese Verschiebung in y- Richtung gibt an, wo die Symmetrieachse liegt, und steht als Summand hinter dem Sinus. | ||
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| - | **__Verschiebung in x- Richtung:__** | + | ====Verschiebung in x- Richtung:==== |
| Der Parameter c verändert die Lage der Hoch- und Tiefpunkte und die Nullstellen des Graphen. Dabei bleibt der Wertebereich gleich. Es kann z.B. der x- Wert des ersten Symmetriepunktes abgelesen werden. Der entsprechende Wert wird dann als Subtrahend hinter das x geschrieben. | Der Parameter c verändert die Lage der Hoch- und Tiefpunkte und die Nullstellen des Graphen. Dabei bleibt der Wertebereich gleich. Es kann z.B. der x- Wert des ersten Symmetriepunktes abgelesen werden. Der entsprechende Wert wird dann als Subtrahend hinter das x geschrieben. | ||
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| - | **__Streckung oder Stauchung in x- Richtung:__** | + | ====Streckung oder Stauchung in x- Richtung:==== |
| Der Parameter b stellt den Streckfaktor des Graphen in x- Richtung dar und verändert die Periodenlänge dessen. Er hat also andere Nullstellen, jedoch denselben Wertebereich, und steht am Ende als Faktor vor dem x. | Der Parameter b stellt den Streckfaktor des Graphen in x- Richtung dar und verändert die Periodenlänge dessen. Er hat also andere Nullstellen, jedoch denselben Wertebereich, und steht am Ende als Faktor vor dem x. | ||
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| - | ====Übungsaufgabe- Parameter bestimmen==== | + | =====Übungsaufgabe- Parameter bestimmen===== |
| ===Aufgabe:=== | ===Aufgabe:=== | ||
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| <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/uebungsgraph._loesung.ggb</ggb></hidden> | <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/uebungsgraph._loesung.ggb</ggb></hidden> | ||
| - | ====Übungsaufgabe- Graph zeichnen==== | + | =====Übungsaufgabe- Graph zeichnen===== |
| ===Aufgabe:=== | ===Aufgabe:=== | ||
| Zeichne den Graphen folgender Funktion. | Zeichne den Graphen folgender Funktion. | ||
| Du kannst die Richtigkeit prüfen, indem du dir den unten einblendaren Graphen anschaust und vergleichst. | Du kannst die Richtigkeit prüfen, indem du dir den unten einblendaren Graphen anschaust und vergleichst. | ||
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| **f(x)=−sin(2x−π)−1** | **f(x)=−sin(2x−π)−1** | ||
| ===Lösungsgraph:=== | ===Lösungsgraph:=== | ||
| - | <hidden><ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/funktionsterm_lösung_nr._2.ggb</ggb></hidden> | + | <hidden><ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/funktionsterm_loesung.ggb</ggb></hidden> |