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faecher:mathematik:mathebuch:sinus_und_kosinusfunktion [2017/04/24 13:53]
barescr [Sinus- und Kosinusfunktion] 		faecher:mathematik:mathebuch:sinus_und_kosinusfunktion [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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-====Sinus- und Kosinusfunktion====+======Sinus- und Kosinusfunktion======
  
 Ob du es glaubst oder nicht, das Arbeiten mit diesen Funktionen kann ganz einfach sein. =) Ob du es glaubst oder nicht, das Arbeiten mit diesen Funktionen kann ganz einfach sein. =)
-====Gemeinsamkeiten & Allgemeines====+ 
 +=====Herleitung===== 
 +Die Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich aus dem Einheitskreis herleiten. 
 +<note important>​Hier kannst du dir diesen noch einmal genauer angucken! ;-) 
 +[[faecher:​mathematik:​mathebuch:​sinus_kosinus_und_tangens_am_einheitskreis|Sinus,​ Kosinus und Tangens am Einheitskreis]]</​note>​ 
 + 
 +Je nachdem, wie groß der Winkel ∝ des **rechtwinkligen**Dreiecks im Einheitskreis ist, verändern sich auch die x- und y- Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Stellt man nun die y- Koordinate abhängig vom Winkel Alpha in einem Diagramm dar, erhält man die Sinuskurve.  
 + 
 +Das bedeutet: y= sin(∝). 
 + 
 + 
 +Wenn man dasselbe nun auch mit der x- Koordinate macht, erhält man die Kosinuskurve.  
 + 
 +Das bedeutet: x= cos(∝). 
 +<ggb 240>/​faecher/​mathematik/​mathebuch/​sinus-_und_kosinuskurve_im_einheitskreis.ggb</​ggb>​ 
 + 
 +=====Gemeinsamkeiten & Allgemeines=====
  
 Erst einmal ist es wichtig zu wissen, dass Sinus und Kosinusfunktionen mehrere Gemeinsamkeiten haben: Erst einmal ist es wichtig zu wissen, dass Sinus und Kosinusfunktionen mehrere Gemeinsamkeiten haben:
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 Sinus: //f(x)= a•sin(b•(x-c))+d//​ und Kosinus:// f(x)= a•cos(b•(x-c))+d//​ Sinus: //f(x)= a•sin(b•(x-c))+d//​ und Kosinus:// f(x)= a•cos(b•(x-c))+d//​
  
- ====Die wichtigsten Begriffe====+=====Die wichtigsten Begriffe=====
  
 Um das Folgende zu verstehen, müssen ein paar Begriffe bekannt sein. Um das Folgende zu verstehen, müssen ein paar Begriffe bekannt sein.
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-====Wie wird der Graph durch die verschiedenen Parameter verändert?​====+=====Wie wird der Graph durch die verschiedenen Parameter verändert?=====
  
 Im weiteren Verlauf wird nun erklärt, wie man Sinus- und Kosinusfunktionen mit den einzelnen Parameter verändern kann. Da der Einfluss der Parameter bei Sinus- und Kosinusfunktionen identisch ist, wird es hier an der Sinuskurve erklärt. Im weiteren Verlauf wird nun erklärt, wie man Sinus- und Kosinusfunktionen mit den einzelnen Parameter verändern kann. Da der Einfluss der Parameter bei Sinus- und Kosinusfunktionen identisch ist, wird es hier an der Sinuskurve erklärt.
  
  
-**__Streckung ​oder Stauchung in y- Richtung:__**+====Streckung ​oder Stauchung in y- Richtung:====
  
 Der Parameter a ist der Streckfaktor des Graphen in y- Richtung und verändert den Wertebereich dessen, jedoch nicht die Nullstellen. Der Betrag von a ist die sogenannte Amplitude und steht als Faktor also vor dem Sinus. ​ Der Parameter a ist der Streckfaktor des Graphen in y- Richtung und verändert den Wertebereich dessen, jedoch nicht die Nullstellen. Der Betrag von a ist die sogenannte Amplitude und steht als Faktor also vor dem Sinus. ​
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-**__Verschiebung ​in y- Richtung:__**+====Verschiebung ​in y- Richtung:====
  
 Der Parameter d gibt an, um wieviele Einheiten der Graph an der y- Achse verschoben wird. Dabei ändert sich jedoch nicht die Periodenlänge. Diese Verschiebung in y- Richtung gibt an, wo die Symmetrieachse liegt, und steht als Summand hinter dem Sinus. Der Parameter d gibt an, um wieviele Einheiten der Graph an der y- Achse verschoben wird. Dabei ändert sich jedoch nicht die Periodenlänge. Diese Verschiebung in y- Richtung gibt an, wo die Symmetrieachse liegt, und steht als Summand hinter dem Sinus.
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-**__Verschiebung ​in x- Richtung:__**+====Verschiebung ​in x- Richtung:====
  
 Der Parameter c verändert die Lage der Hoch- und Tiefpunkte und die Nullstellen des Graphen. Dabei bleibt der Wertebereich gleich. Es kann z.B. der x- Wert des ersten Symmetriepunktes abgelesen werden. Der entsprechende Wert wird dann als Subtrahend hinter das x geschrieben. Der Parameter c verändert die Lage der Hoch- und Tiefpunkte und die Nullstellen des Graphen. Dabei bleibt der Wertebereich gleich. Es kann z.B. der x- Wert des ersten Symmetriepunktes abgelesen werden. Der entsprechende Wert wird dann als Subtrahend hinter das x geschrieben.
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-**__Streckung ​oder Stauchung in x- Richtung:__**+====Streckung ​oder Stauchung in x- Richtung:====
  
 Der Parameter b stellt den Streckfaktor des Graphen in x- Richtung dar und verändert die Periodenlänge dessen. Er hat also andere Nullstellen,​ jedoch denselben Wertebereich,​ und steht am Ende als Faktor vor dem x. Der Parameter b stellt den Streckfaktor des Graphen in x- Richtung dar und verändert die Periodenlänge dessen. Er hat also andere Nullstellen,​ jedoch denselben Wertebereich,​ und steht am Ende als Faktor vor dem x.
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-====Übungsaufgabe- Parameter bestimmen====+=====Übungsaufgabe- Parameter bestimmen=====
  
 ===Aufgabe:​=== ===Aufgabe:​===
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 <ggb 240>/​faecher/​mathematik/​mathebuch/​uebungsgraph._loesung.ggb</​ggb></​hidden>​ <ggb 240>/​faecher/​mathematik/​mathebuch/​uebungsgraph._loesung.ggb</​ggb></​hidden>​
 +
 +=====Übungsaufgabe- Graph zeichnen=====
 +===Aufgabe:​===
 +Zeichne den Graphen folgender Funktion. ​
 +Du kannst die Richtigkeit prüfen, indem du dir den unten einblendaren Graphen anschaust und vergleichst.
 +
 +
 +**f(x)=−sin(2x−π)−1**
 +
 +===Lösungsgraph:​===
 +<​hidden><​ggb 240>/​faecher/​mathematik/​mathebuch/​funktionsterm_loesung.ggb</​ggb></​hidden>​