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faecher:mathematik:mathebuch:sinus-_und_kosinussatz_im_allgemeinen_dreieck [2017/04/07 07:05] knierim |
faecher:mathematik:mathebuch:sinus-_und_kosinussatz_im_allgemeinen_dreieck [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| =====Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck===== | =====Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck===== | ||
| - | **__Sinussatz__** | + | ====Sinussatz==== |
| Zeile 19: | Zeile 19: | ||
| *** 2 Seiten** und **1 Winkel**, der **gegenüber** von **einer** dieser **Seiten** liegt,// gegeben// sind,** 1 Winkel**, der **gegenüber** der **2. Seite** liegt, //gesucht// wird | *** 2 Seiten** und **1 Winkel**, der **gegenüber** von **einer** dieser **Seiten** liegt,// gegeben// sind,** 1 Winkel**, der **gegenüber** der **2. Seite** liegt, //gesucht// wird | ||
| - | + | ===Vorgehensweise=== | |
| - | __**Vorgehensweise**__ | + | |
| - Überflüssigen Teil der Formel weglassen | - Überflüssigen Teil der Formel weglassen | ||
| - Nach gesuchter Größe umstellen | - Nach gesuchter Größe umstellen | ||
| - Werte einsetzen | - Werte einsetzen | ||
| - Ausrechnen | - Ausrechnen | ||
| - | __ | + | |
| - | **Beispiel**__ | + | ===Beispiel=== |
| Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **β=48°; γ=75°; c=6cm. | Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **β=48°; γ=75°; c=6cm. | ||
| ** | ** | ||
| - | Berechne die Längen der Seite b. | + | //Gesucht// wird die Länge der Seite **b**. |
| - | <hidden>** | ||
| - | __Lösung__** | ||
| - $\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$ | - $\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$ | ||
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| - b=$\frac{6∗0,7431}{0,9659}$ | - b=$\frac{6∗0,7431}{0,9659}$ | ||
| - b=4,62cm | - b=4,62cm | ||
| - | </hidden> | ||
| - | __**Übungsaufgaben**__ | ||
| - | 1. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=5cm; c=7cm; γ=50°**. Bestimme die Größe des Winkels α. | ||
| - | 2. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=4cm; α=60°; β=50°**. Bestimme die Länge der Seite b. | + | ===Übungsaufgaben=== |
| - | 3. Im Dreieck ABC sind// gegeben//: **a=8cm; b=5cm; α=80°**. Bestimme die Größe des Winkels β. | + | 1. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=5cm; c=7cm; γ=50°**. //Gesucht// wird die Größe des Winkels **α**. |
| + | 2. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=4cm; α=60°; β=50°**. //Gesucht// wird die Länge der Seite **b**. | ||
| - | <hidden>__**Lösungen**__ | + | 3. Im Dreieck ABC sind// gegeben//: **a=8cm; b=5cm; α=80°**. //Gesucht// wird die Größe des Winkels **β**. |
| + | |||
| + | |||
| + | ===Lösungen=== | ||
| + | <hidden> | ||
| 1. α=33° | 1. α=33° | ||
| Zeile 58: | Zeile 57: | ||
| - | **__Kosinussatz__** | + | ====Kosinussatz==== |
| Den Kosinussatz kann man, genauso wie den Sinussatz, in **jedem beliebigen Dreieck** anwenden. | Den Kosinussatz kann man, genauso wie den Sinussatz, in **jedem beliebigen Dreieck** anwenden. | ||
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| - | __**Vorgehensweise:**__ | + | ===Vorgehensweise=== |
| - Mit gegebenen Größen passende Formel auswählen | - Mit gegebenen Größen passende Formel auswählen | ||
| - Nach gesuchter Größe umstellen | - Nach gesuchter Größe umstellen | ||
| Zeile 87: | Zeile 86: | ||
| - Ausrechnen | - Ausrechnen | ||
| - | __** | + | ===Beispiel=== |
| - | Beispiel**__ | + | |
| - | {{:faecher:mathematik:mathebuch:mathe_4.png|}} | ||
| - | //gegeben:// **b=5cm; c=7cm; α= 57,1°** | + | Im Dreieck ABC sind //gegeben:// **b=5cm; c=7cm; α=57,1°.** |
| + | //Gesucht// wird die Länge der Seite **a**. | ||
| - | //gesucht:// Länge der Seite a. | ||
| - | <hidden>__**Lösung**__ | ||
| - $a^2$=$b^2$+$c^2$//-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)// | - $a^2$=$b^2$+$c^2$//-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)// | ||
| - a=$\sqrt{b^2+c^2-2∗b∗c∗cos(α)}$ | - a=$\sqrt{b^2+c^2-2∗b∗c∗cos(α)}$ | ||
| - a=$\sqrt{25+49-70∗0,543}$ a=$\sqrt{35,99}$ | - a=$\sqrt{25+49-70∗0,543}$ a=$\sqrt{35,99}$ | ||
| - | - a≈6cm</hidden> | + | - a≈6cm |
| - | __ | + | |
| - | ** | + | |
| - | Übungsaufgaben**__ | + | ===Übungsaufgaben=== |
| - | 1. Ein Dreieck ABC hat die Seiten **a=2 cm, b=3 cm** und den Winkel **γ=100°**. | + | 1. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=2cm; b=3cm; γ=100°**. |
| - | Wie lang ist die Seite c? | + | //Gesucht// wird die Länge der Seite **c**. |
| - | 2. Ein Dreieck ABC hat die Seiten **b = 4cm, c = 6cm** und den Winkel **α=60°**. | + | 2. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **b=4cm; c=6cm; α=60°**. |
| - | Wie lang ist die Seite a? | + | //Gesucht// wird die Länge der Seite **a**. |
| - | 3. Ein Dreieck hat die Seiten **a = 5cm, b = 3cm und c = 7cm**. | + | 3. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=5cm; b=3cm c=7cm**. |
| - | Wie groß ist der Winkel α? | + | //Gesucht// wird die Größe des Winkels **α**. |
| - | <hidden>__**Lösungen**__ | ||
| + | ===Lösungen=== | ||
| + | <hidden> | ||
| 1. c≈3,88cm | 1. c≈3,88cm | ||