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faecher:mathematik:mathebuch:sinus-_und_kosinussatz_im_allgemeinen_dreieck [2017/04/05 07:30]
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 =====Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck===== =====Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck=====
 +
 +====Sinussatz====
 +
 +
 +Den Sinussatz kann man im **allgemeinen Dreieck** anwenden, dass bedeutet, das Dreieck muss //nicht// unbedingt //​rechtwinklig//​ sein, wie bei den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
 +
 +
 +
 +
 +<note important>​$\frac{a}{sin(α)}$=$\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$
 +
 +
 +Für **jedes** Dreieck gilt, dass die Quotienten aus der Seitenlänge und dem Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels jeweils denselben Wert haben.
 +
 +</​note>​
 +
 +Den Sinussatz benutzt man, wenn ...
 +  *** 2 Seiten** und **1 Winkel**, der **gegenüber** von **einer** dieser **Seiten** liegt,// gegeben// sind,** 1 Winkel**, der **gegenüber** der **2. Seite** liegt, //gesucht// wird
 +
 +===Vorgehensweise===
 +  - Überflüssigen Teil der Formel weglassen
 +  - Nach gesuchter Größe umstellen
 +  - Werte einsetzen
 +  - Ausrechnen
 +
 +===Beispiel===
 +
 +Im Dreieck ABC sind //​gegeben//:​ **β=48°; γ=75°; c=6cm.
 +**
 +//Gesucht// wird die Länge der Seite **b**.
 +
 +
 +  - $\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$
 +  - b=$\frac{c∗sin(β)}{sin(γ)}$
 +  - b=$\frac{6∗0,​7431}{0,​9659}$
 +  - b=4,62cm
 +
 +
 +===Übungsaufgaben===
 +
 +1. Im Dreieck ABC sind //​gegeben//:​ **a=5cm; c=7cm; γ=50°**. //Gesucht// wird die Größe des Winkels **α**.
 +
 +2. Im Dreieck ABC sind //​gegeben//:​ **a=4cm; α=60°; β=50°**. //Gesucht// wird die Länge der Seite **b**.
 +
 +3. Im Dreieck ABC sind// gegeben//: **a=8cm; b=5cm; α=80°**. //Gesucht// wird die Größe des Winkels **β**.
 +
 +
 +===Lösungen===
 +<​hidden>​
 +
 +1. α=33°
 +
 +2. b≈3,54cm
 +
 +3. β≈37,​99°</​hidden> ​
 +
 +
 +====Kosinussatz====
 +
 +Den Kosinussatz kann man, genauso wie den Sinussatz, in **jedem beliebigen Dreieck** anwenden.
 +
 +
 +<note important>​
 +
 +$a^2$=$b^2$+$c^2$//​-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)//​
 +
 +$b^2$=$a^2$+$c^2$//​-2$\cdot$a$\cdot$c$\cdot$cos(β)//​
 +
 +$c^2$=$a^2$+$b^2$//​-2$\cdot$a$\cdot$b$\cdot$cos(γ)//​
 +
 +Für **jedes Dreieck** gilt, dass das Quadrat einer Dreiecksseite gleich ist der Summe der Quadrate der anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.
 +
 +</​note>​
 +
 +
 +Den Kosinussatz benutzt man, wenn ...
 +  * **3 Seiten** //gegeben// sind,** 1 Winkel** //gesucht// wird
 +  * **2 Seiten** und **1 Winkel** dazwischen //gegeben// sind, **3. Seite** //gesucht// wird
 +
 +
 +===Vorgehensweise===
 +  - Mit gegebenen Größen passende Formel auswählen
 +  - Nach gesuchter Größe umstellen
 +  - Werte einsetzen
 +  - Ausrechnen
 +
 +===Beispiel===
 +
 +
 +Im Dreieck ABC sind //​gegeben://​ **b=5cm; c=7cm; α=57,​1°.**
 +//Gesucht// wird die Länge der Seite **a**.
 +
 +
 +
 +  - $a^2$=$b^2$+$c^2$//​-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)//​
 +  - a=$\sqrt{b^2+c^2-2∗b∗c∗cos(α)}$
 +  - a=$\sqrt{25+49-70∗0,​543}$ a=$\sqrt{35,​99}$ ​
 +  - a≈6cm
 +
 +
 +===Übungsaufgaben===
 +
 + 
 +1. Im Dreieck ABC sind //​gegeben//:​ **a=2cm; b=3cm; γ=100°**.
 +//Gesucht// wird die Länge der Seite **c**.
 +
 +2. Im Dreieck ABC sind //​gegeben//:​ **b=4cm; c=6cm; α=60°**.
 +//Gesucht// wird die Länge der Seite **a**.
 +
 +3. Im Dreieck ABC sind //​gegeben//:​ **a=5cm; b=3cm  c=7cm**.
 +//Gesucht// wird die Größe des Winkels **α**.
 +
 +
 +
 +===Lösungen===
 +
 +
 +<​hidden>​
 +1. c≈3,88cm
 +
 +2. a≈5,29cm
 +
 +3. α≈38,​21°</​hidden>​
 +
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 +   
 +    ​
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