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faecher:mathematik:mathebuch:pythagoras [2017/04/07 06:33] kastnea [Katheten und Hypothenusen] |
faecher:mathematik:mathebuch:pythagoras [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| \begin{array}{lcr} | \begin{array}{lcr} | ||
| 3²+3² &=& c² |√\\ | 3²+3² &=& c² |√\\ | ||
| - | 3+3 &=& c\\ | + | √(9+9) &=& c\\ |
| - | 9 &=& c\\ | + | √18 &=& c\\ |
| + | 4,2 &=& c\\ | ||
| \end{array}$$ | \end{array}$$ | ||
| - | Somit ist unsere Seite 9cm lang. | + | Somit ist unsere Seite ungefähr 4,2cm lang. |
| ===== Beweis für den Satz des Pythagoras ===== | ===== Beweis für den Satz des Pythagoras ===== | ||
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| Es gibt über hundert verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras, ich möchte euch den Scherungsbeweis näherbringen.\\ | Es gibt über hundert verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras, ich möchte euch den Scherungsbeweis näherbringen.\\ | ||
| <note tip>Schaut euch dazu die Grafiken immer genau an und verfolgt die Schritte.</note> | <note tip>Schaut euch dazu die Grafiken immer genau an und verfolgt die Schritte.</note> | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild38.gif?200 |}} | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild38.gif?200 |}}((http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/pythagoras/site17.html)) |
| - Zuerst scheren wir die Kathetenquadrate zu Parallelogrammen in das Dreieck ABC hinein. Die Scherungsachsen sind dabei die Seiten EA und BJ. | - Zuerst scheren wir die Kathetenquadrate zu Parallelogrammen in das Dreieck ABC hinein. Die Scherungsachsen sind dabei die Seiten EA und BJ. | ||
| - Dann drehen wir die Parallelogramme um 90° um den gemeinsamen Punkt A bzw. B. | - Dann drehen wir die Parallelogramme um 90° um den gemeinsamen Punkt A bzw. B. | ||
| - Anschließend scheren wir diese zu Rechtecken in unser Hypothenusenquadrat. Die Scherungsachsen sind in diesem Fall AK und BL.\\ | - Anschließend scheren wir diese zu Rechtecken in unser Hypothenusenquadrat. Die Scherungsachsen sind in diesem Fall AK und BL.\\ | ||
| Und voilà - schon können wir erkennen, dass die Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Fächeninhalt des Hypothenusenquadrats entsprechen! | Und voilà - schon können wir erkennen, dass die Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Fächeninhalt des Hypothenusenquadrats entsprechen! | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild37.gif?200 |}} | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild37.gif?200 |}}((http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/pythagoras/site17.html)) |
| ====== Der Höhensatz des Euklid ====== | ====== Der Höhensatz des Euklid ====== | ||
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| ===== Beweis für den Höhensatz des Euklid ===== | ===== Beweis für den Höhensatz des Euklid ===== | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}} | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}}((http://www.mathematik-wissen.de/hohensatz_des_euklid.htm)) |
| Auf dem Bild kann man ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, so, wie wir es bei dem Pythagoras zu sehen bekommen haben. In dieses Dreieck wurde eine Höhe h eingezeichnet. Sie geht durch den Punkt C und bildet am neu erschaffenden Punkt, den wir L nennen, zwei rechte Winkel. Somit wird das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke augeteilt. Auch die Seite c wird in zwei Seiten geteilt, die wir p und q nennen.\\ | Auf dem Bild kann man ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, so, wie wir es bei dem Pythagoras zu sehen bekommen haben. In dieses Dreieck wurde eine Höhe h eingezeichnet. Sie geht durch den Punkt C und bildet am neu erschaffenden Punkt, den wir L nennen, zwei rechte Winkel. Somit wird das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke augeteilt. Auch die Seite c wird in zwei Seiten geteilt, die wir p und q nennen.\\ | ||
| Somit wissen wir durch Anwendung des Pythagoras folgendes: | Somit wissen wir durch Anwendung des Pythagoras folgendes: | ||
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| Als Ausgangspunkt haben wir wieder das gleiche Dreieck wie bei dem Höhensatz gegeben.\\ | Als Ausgangspunkt haben wir wieder das gleiche Dreieck wie bei dem Höhensatz gegeben.\\ | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}} | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}}((http://www.mathematik-wissen.de/hohensatz_des_euklid.htm)) |
| Beweisen wir zuerst a²=p·c:\\ | Beweisen wir zuerst a²=p·c:\\ | ||
| $$ | $$ | ||
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| ====== Übungsaufgaben ====== | ====== Übungsaufgaben ====== | ||
| + | <note tip>Mache vorher eine kleine Skizze der Aufgabe und markiere die Seiten, die du ausrechnen möchtest.</note> | ||
| ===== Übungsaufgaben für den Satz des Pythagoras ===== | ===== Übungsaufgaben für den Satz des Pythagoras ===== | ||
| - | <note tip>Mache vorher eine kleine Skizze der Aufgabe und markiere die Seiten, die du ausrechnen möchtest.</note>\\ | + | |
| - Die Katheten eines rechtwinklige Dreiecks haben die Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse. | - Die Katheten eines rechtwinklige Dreiecks haben die Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse. | ||
| - Du hast die Seiten b=5cm und c=12cm. Berechne die Seite a. | - Du hast die Seiten b=5cm und c=12cm. Berechne die Seite a. | ||
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| ===== Übungsaufgaben für den Höhensatz des Euklid===== | ===== Übungsaufgaben für den Höhensatz des Euklid===== | ||
| - | <note tip>Mache auch hier wieder eine kleine Skizze und markiere das Gesuchte.</note> | + | |
| - Gegeben ist die Höhe h = 9cm und die Seite p = 2cm. Gesucht ist die Seite q. | - Gegeben ist die Höhe h = 9cm und die Seite p = 2cm. Gesucht ist die Seite q. | ||
| - | - Gegeben sind die Seiten p=1 4/5cm und q=3 1/5cm. Gesucht ist die Höhe h. | + | - Gegeben sind die Seiten $p=1\frac{4}{5}cm$ und $q=3 \frac{1}{5}cm$. Gesucht ist die Höhe h. |
| - | - Gegeben ist die Höhe h=2 2/5cm und die Seite p=1 4/5cm. Gesucht ist die Seite q. | + | - Gegeben ist die Höhe $h=2 \frac{2}{5}cm$ und die Seite $p=1\frac{4}{5}cm$. Gesucht ist die Seite q. |
| Du bist fertig mit deinen Aufgaben und willst sie vergleichen? Dann klicke [[faecher:mathematik:mathebuch:loesungen_fuer_pythagoras|hier]] für die Lösungen! | Du bist fertig mit deinen Aufgaben und willst sie vergleichen? Dann klicke [[faecher:mathematik:mathebuch:loesungen_fuer_pythagoras|hier]] für die Lösungen! | ||
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| ===== Übungsaufgaben für den Kathetensatz und Höhensatz des Euklid ===== | ===== Übungsaufgaben für den Kathetensatz und Höhensatz des Euklid ===== | ||
| - | <note tip>Auch hier ist es sehr hilfreich, sich vorher eine kleine Skizze zu machen und das zu markieren, was man ausrechnen muss.</note> | + | |
| - a=?, b= 5 cm, c=?, h= 4 cm, p=?, q=? | - a=?, b= 5 cm, c=?, h= 4 cm, p=?, q=? | ||
| - a= 5cm, b= 12 cm, c= 13 cm, h=?, p=?, q=? | - a= 5cm, b= 12 cm, c= 13 cm, h=?, p=?, q=? | ||