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--- faecher:mathematik:mathebuch:pythagoras [2017/04/05 07:07]
kastnea [Beispiel für den Höhensatz des Euklid]
+++ faecher:mathematik:mathebuch:pythagoras [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 =====  Katheten und Hypothenusen  =====
-<note tip>Falls ihr euch im Allgemeinen nochmal das Thema Dreiecke in den Sinn rufen wollt, schaut doch [[faecher:mathematik:mathebuch:konstruktion_von_dreiecken|hier]] nach </note>
+<note tip>Falls ihr euch im Allgemeinen nochmal das Thema Dreiecke in den Sinn rufen wollt, schaut doch [[faecher:mathematik:mathebuch:konstruktion_von_dreiecken|hier]] nach. </note>
 Die Katheten eines Dreiecks beschreiben die Seiten, die am rechten Winkel anliegen. Die Hypothenuse ist somit die einzige Seite, die nicht an dem rechten Winkel anliegt, sondern ihm gegenüber steht. Außerdem ist ein weiteres Merkmal der Hypothenuse, dass diese immer die längste Seite des Dreiecks ist.\\
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:mathe_pythagoras_dreieck.png?200 |}}\\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:mathe_pythagoras_dreieck.png?200 |}}((http://www.kurztutorial.info/programme/pythagoras/pythagoras.html))\\
 Wenn man dann jede einzelne Seite quadriert, also Hypothenuse · Hypothenuse und Kathethen · Katheten, so erhält man das Hypothenusenquadrat und die Kathetenquadrate.\\
 Dies kann man auch nochmal sehr gut an dem Beispiel erkennen.\\
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:satz_des_pytagoras_4.png?200 |}}\\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:satz_des_pytagoras_4.png?200 |}}((https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/geometrie_ebene/dreieck/pythagoras))\\
 In diesem Beispiel ist unser rechter Winkel γ und somit unsere Hypothenuse die Seite c, da sie γ gegenüber liegt.\\
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 $$
 \begin{array}{lcr}
-²+3²=c² |√\\
+²+3² &=& c² |√\\
-+3=c\\
+√(9+9) &=& c\\
-=c\\
+√18 &=& c\\
+,2 &=& c\\
 \end{array}$$
-Somit ist unsere Seite 9cm lang.
+Somit ist unsere Seite ungefähr 4,2cm lang.
 ===== Beweis für den Satz des Pythagoras =====
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 Es gibt über hundert verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras, ich möchte euch den Scherungsbeweis näherbringen.\\
 <note tip>Schaut euch dazu die Grafiken immer genau an und verfolgt die Schritte.</note>
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild38.gif?200 |}}
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild38.gif?200 |}}((http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/pythagoras/site17.html))
   - Zuerst scheren wir die Kathetenquadrate zu Parallelogrammen in das Dreieck ABC hinein. Die Scherungsachsen sind dabei die Seiten EA und BJ.
   - Dann drehen wir die Parallelogramme um 90° um den gemeinsamen Punkt A bzw. B.
   - Anschließend scheren wir diese zu Rechtecken in unser Hypothenusenquadrat. Die Scherungsachsen sind in diesem Fall AK und BL.\\
 Und voilà - schon können wir erkennen, dass die Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Fächeninhalt des Hypothenusenquadrats entsprechen!
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild37.gif?200 |}}
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:bild37.gif?200 |}}((http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/pythagoras/site17.html))
 ====== Der Höhensatz des Euklid ======
 <note important>Der Höhensatz des Euklid gilt ausschliesßlich für rechtwinklige Dreiecke!</note>
 Der Höhensatz des Euklid benutzt man, um in einem rechtwinkligen Dreieck eine bestimmte Höhe auszurechnen. Die Formel dazu ist **h²=p·q**. Doch schauen wir uns mal an, wie man überhaupt darauf kommt:
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}}
+===== Beweis für den Höhensatz des Euklid =====
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}}((http://www.mathematik-wissen.de/hohensatz_des_euklid.htm))
 Auf dem Bild kann man ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, so, wie wir es bei dem Pythagoras zu sehen bekommen haben. In dieses Dreieck wurde eine Höhe h eingezeichnet. Sie geht durch den Punkt C und bildet am neu erschaffenden Punkt, den wir L nennen, zwei rechte Winkel. Somit wird das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke augeteilt. Auch die Seite c wird in zwei Seiten geteilt, die wir p und q nennen.\\
 Somit wissen wir durch Anwendung des Pythagoras folgendes:
@@ Zeile 61: / Zeile 65: @@
 $a²+b²=c²$ → ersetze $a²=h²+p²$, $b²=q²+h²$ und $c=p+q$.
 $$\begin{array}{lcr}
-(h²+p²)+(q²+h²)=(q+p)²\\
+(h²+p²)+(q²+h²) &=& (q+p)²\\
-h²+p²+q²+h²=q²+2qp+p²   |-q²-p²\\
+h²+p²+q²+h² &=& q²+2qp+p²   |-q²-p²\\
-h²=2pq   |:2\\
+h² &=& 2pq   |:2\\
-h²=p·q\\
+h² &=& p·q\\
 \end{array}$$
@@ Zeile 73: / Zeile 77: @@
  $$
 \begin{array}{lcr}
-h²=p·q\\
+h² &=& p·q\\
-h²=2·3\\
+h² &=& 2·3\\
-h²=6 |√\\
+h² &=& 6 |√\\
-h≈2,45
+h &≈& 2,45
 \end{array}$$
 Somit ist unsere Höhe 2,45 cm lang.
@@ Zeile 86: / Zeile 90: @@
   * b²=q·c
 Doch warum ist das so? Die Antwort auf diese Frage bringt uns der Beweis:\\
+===== Beweis für den Kathetensatz des Euklid =====
 Als Ausgangspunkt haben wir wieder das gleiche Dreieck wie bei dem Höhensatz gegeben.\\
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}}
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:hohensatz_des_euklid.jpg |}}((http://www.mathematik-wissen.de/hohensatz_des_euklid.htm))
 Beweisen wir zuerst a²=p·c:\\
 $$
 \begin{array}{lcr}
-a² = h² + p²\       (Satz\ des\ Pythagoras)\\
+a² &=& h² + p²\       (Satz\ des\ Pythagoras)\\
-a² = h² + p²\       | ersetze\ h² = p · q\ (Höhensatz\ des\ Euklid)\\
+a² &=& h² + p²\       | ersetze\ h² = p · q\ (Höhensatz\ des\ Euklid)\\
-a² = p · q + p²\   | p\ ausklammern\\
+a² &=& p · q + p²\   | p\ ausklammern\\
-a² = p · (q + p)\  | p + q = c\\
+a² &=& p · (q + p)\  | p + q = c\\
-a² = p · c
+a² &=& p · c
 \end{array}$$\\
 Der Beweis für b²=q·c läuft ähnlich ab:\\
 $$
 \begin{array}{lcr}
-b² = q² + h²\       (Satz\ des\ Pythagoras)\\
+b² &=& q² + h²\       (Satz\ des\ Pythagoras)\\
-b² = q² + h²\        | ersetze\ h² = p · q\ (Höhensatz\ des\ Euklid)\\
+b² &=& q² + h²\        | ersetze\ h² = p · q\ (Höhensatz\ des\ Euklid)\\
-b² = q² + p ·q\     | q\ ausklammern\\
+b² &=& q² + p ·q\     | q\ ausklammern\\
-b² = q · (q + p)\   | p + q = c\\
+b² &=& q · (q + p)\   | p + q = c\\
-b² = q · c
+b² &=& q · c
 \end{array}$$\\
@@ Zeile 112: / Zeile 119: @@
 $$
 \begin{array}{lcr}
-a² = c · p\\
+a² &=& c · p\\
-a² = 10 · 5\\
+a² &=& 10 · 5\\
-a² = 50\ |√\\
+a² &=& 50\ |√\\
-a = 7,07\\
+a &=& 7,07\\
 \end{array}$$\\
 Somit ist die Seite a=7,07cm lang.\\
 $$\begin{array}{lcr}
-c = p + q\\
+c &=& p + q\\
-q = 10cm - 5cm\\
+q &=& 10cm - 5cm\\
-q= 5cm\\
+q &=& 5cm\\
 \end{array}$$\\
 $$\begin{array}{lcr}
-b² = c · q\\
+b² &=& c · q\\
-b² = 10 · 5\\
+b² &=& 10 · 5\\
-b² = 50\ |√\\
+b² &=& 50\ |√\\
-b = 7,07\\
+b &=& 7,07\\
 \end{array}$$\\
 Somit ist die Seite b=7,07 lang.
@@ Zeile 133: / Zeile 140: @@
 ====== Übungsaufgaben ======
+<note tip>Mache vorher eine kleine Skizze der Aufgabe und markiere die Seiten, die du ausrechnen möchtest.</note>
 ===== Übungsaufgaben für den Satz des Pythagoras =====
-<note tip>Mache vorher eine kleine Skizze der Aufgabe und markiere die Seiten, die du ausrechnen möchtest.</note>\\
    - Die Katheten eines rechtwinklige Dreiecks haben die Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.
    - Du hast die Seiten b=5cm und c=12cm. Berechne die Seite a.
    - Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?
-<note tip>Vergessen, wie man Wurzeln zieht? Schau es doch [[faecher:mathematik:mathebuch:wurzel|hier]]nach!</note>
+<note tip>Vergessen, wie man Wurzeln zieht? Schau es doch [[faecher:mathematik:mathebuch:wurzel|hier]] nach!</note>
-==== Lösungen für die Aufgaben des Pythagoras ====
+Du bist fertig mit deinen Aufgaben und willst sie vergleichen? Dann klicke [[faecher:mathematik:mathebuch:loesungen_fuer_pythagoras|hier]] für die Lösungen!
-  - $$
-\begin{array}{lcr}
-b²=a²+b²\\
-b=\sqrt {a²+c²}\\
-b=\sqrt{(5)²+(15)²}\\
-b≈15,8
-\end{array}$$
-  - $$
-\begin{array}{lcr}
-a²+b²=c²\\
-a²+(5)²=12²\\
-a²+252=1442\\
-a²=1192\\
-a=10,9
-\end{array}$$
-   -    $$
-\begin{array}{lcr}
-a²+b²=e²\\
-²+7²=e²\ |√\\
-,6≈e
-\end{array}$$
-===== Übungsaufgaben für den Höhensatz =====
+===== Übungsaufgaben für den Höhensatz des Euklid=====
-<note tip>Mache auch hier wieder eine kleine Skizze und markiere das Gesuchte.</note>
   - Gegeben ist die Höhe h = 9cm und die Seite p = 2cm. Gesucht ist die Seite q.
-  - Gegeben sind die Seiten p=1 4/5cm und q=3 1/5cm. Gesucht ist die Höhe h.
+  - Gegeben sind die Seiten $p=1\frac{4}{5}cm$ und $q=3 \frac{1}{5}cm$. Gesucht ist die Höhe h.
-  - Gegeben ist die Höhe h=2 2/5cm und die Seite p=1 4/5cm. Gesucht ist die Seite q.
+  - Gegeben ist die Höhe $h=2 \frac{2}{5}cm$ und die Seite $p=1\frac{4}{5}cm$. Gesucht ist die Seite q.
-==== Lösungen für die Aufgaben zum Höhensatz ====
+Du bist fertig mit deinen Aufgaben und willst sie vergleichen? Dann klicke [[faecher:mathematik:mathebuch:loesungen_fuer_pythagoras|hier]] für die Lösungen!
-  - $$
-\begin{array}{lcr}
-h² = p · q\\
-h² : p = q\\
-(9cm)² : 2 =q\\
-q = 40,5cm\\
-\end{array}$$
-  - $$
-\begin{array}{lcr}
-h² = 1 \cdot 3\frac{1}{5}cm{\\
-h = \sqrt{\frac{144}{25}cm^2}\\
-h = \frac{12}{5}cm\\
-h = 2\frac{2}{5}cm
-\end{array}$$
-  - $$
-\begin{array}{lcr}
-q = \frac{(2\frac{2}{5}cm)^2}{1\frac{4}{5}cm}\\
-q = \frac{16}{5}cm\\
-q= 3\frac{1}{5}cm
-\end{array}$$
 ===== Übungsaufgaben für den Kathetensatz und Höhensatz des Euklid =====
-<note tip>Auch hier ist es sehr hilfreich, sich vorher eine kleine Skizze zu machen und das zu markieren, was man ausrechnen muss.</note>
   -  a=?, b= 5 cm, c=?, h= 4 cm, p=?, q=?
   - a= 5cm, b= 12 cm, c= 13 cm, h=?, p=?, q=?
   - a= 3cm, b=?, c= 5cm, h=?, p=?, q=?
+Du bist fertig mit deinen Aufgaben und willst sie vergleichen? Dann klicke [[faecher:mathematik:mathebuch:loesungen_fuer_pythagoras|hier]] für die Lösungen!
-==== Lösungen für die Aufgaben zum Kathetensatz und Höhensatz ====
-  - a= 10,1 cm , b= 5 cm, c= 11,3 cm, h= 4 cm, p= 3 cm, q= 8,3 cm
-  - a= 5 cm, b= 12 cm, c= 13 cm, h=4,6 cm, p= 1,9 cm, q= 11 cm
-  - a= 3 cm, b= 4 cm, c= 5 cm, h= 2,4 cm, p= 1,8 cm, q= 3,2 cm

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