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faecher:mathematik:mathebuch:prozent_und_zinsrechnung [2017/04/07 06:15] heldmaa1 [Berechnen des Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz mithilfe des Dreisatz] |
faecher:mathematik:mathebuch:prozent_und_zinsrechnung [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| = 9600 $km^2$ \\ | = 9600 $km^2$ \\ | ||
| Ergebnis: Die Waldfläche Niedersachsens beträgt ca. 9600 $km^2$. \\ | Ergebnis: Die Waldfläche Niedersachsens beträgt ca. 9600 $km^2$. \\ | ||
| - | <note tip>Man berechnet den Prozentwert, indem man den Grundwert mit dem Prozentwert multipliziert</note> | + | <note tip>Man berechnet den Prozentwert, indem man den Grundwert mit dem Prozentsatz multipliziert</note> |
| ===Berechnen des Grundwertes=== | ===Berechnen des Grundwertes=== | ||
| An einer Schifffahrt nehmen 280 Personen teil. Das Schiff ist bei dieser Fahrt zu 70% ausgebucht. Wie viele Fahrgäste kann das Schiff befördern? \\ | An einer Schifffahrt nehmen 280 Personen teil. Das Schiff ist bei dieser Fahrt zu 70% ausgebucht. Wie viele Fahrgäste kann das Schiff befördern? \\ | ||
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| <note tip>Man berechnet den Grundwert, indem man den Prozentwert durch den Prozentsatz teilt.</note> | <note tip>Man berechnet den Grundwert, indem man den Prozentwert durch den Prozentsatz teilt.</note> | ||
| {{ :faecher:mathematik:mathebuch:formeldreieck.gif?200 |}} \\ | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:formeldreieck.gif?200 |}} \\ | ||
| - | <hidden>Quelle:</hidden> | + | <hidden>Quelle: [[https://www.google.de/search?q=prozentrechnung&source=lnms&tbm=isch&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwio6cT_ypXTAhWHhRoKHdN7AawQ_AUIBygC&biw=1280&bih=654&dpr=1#tbm=isch&q=prozentrechnung+dreieck&imgrc=MsrwmGP-VlD2_M:&spf=654]]</hidden> |
| <note>Tipp: Du musst einfach nur die Gleichung **Grundwert · Prozentsatz = Prozentwert** kennen und umstellen können. Wie das Umstellen von Termen funktioniert, kannst du hier nachlesen: [[faecher:mathematik:mathebuch:terme_termumformung|Terme und Termumformungen]] Du kannst dir aber auch das oben stehende Formeldreick merken. Wenn du einen Wert berechnen willst, siehst du, ob du die anderen beiden Werte multiplizieren oder dividieren musst.</note> | <note>Tipp: Du musst einfach nur die Gleichung **Grundwert · Prozentsatz = Prozentwert** kennen und umstellen können. Wie das Umstellen von Termen funktioniert, kannst du hier nachlesen: [[faecher:mathematik:mathebuch:terme_termumformung|Terme und Termumformungen]] Du kannst dir aber auch das oben stehende Formeldreick merken. Wenn du einen Wert berechnen willst, siehst du, ob du die anderen beiden Werte multiplizieren oder dividieren musst.</note> | ||
| {{ :faecher:mathematik:mathebuch:prozen3.gif |}} \\ | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:prozen3.gif |}} \\ | ||
| - | <hidden>Quelle:</hidden> \\ | + | <hidden>Quelle: https://www.google.de/search?q=prozentrechnung&source=lnms&tbm=isch&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwio6cT_ypXTAhWHhRoKHdN7AawQ_AUIBygC&biw=1280&bih=654&dpr=1#imgrc=2a5dEYcXusC4aM:&spf=553</hidden> \\ |
| Hier sind noch einmal alle drei Formeln, allerdings so, dass das Ergebnis durch den Faktor 100 gleich als Prozent herauskommt. Das große //P// steht für den Prozentwert und das kleine //p// steht für den Prozentsatz. | Hier sind noch einmal alle drei Formeln, allerdings so, dass das Ergebnis durch den Faktor 100 gleich als Prozent herauskommt. Das große //P// steht für den Prozentwert und das kleine //p// steht für den Prozentsatz. | ||
| ====Prozentuale Änderung==== | ====Prozentuale Änderung==== | ||
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| Was ist der Unterschied zwischen// Erhöhung um//... und// Erhöhung auf//...? | Was ist der Unterschied zwischen// Erhöhung um//... und// Erhöhung auf//...? | ||
| <note important>Eine Größe steigt um 10% (um p%) bedeutet:\\ | <note important>Eine Größe steigt um 10% (um p%) bedeutet:\\ | ||
| - | Die Größe wird **um** 10% [um P%] erhöht \\ | + | Die Größe wird **um** 10% [um p%] erhöht \\ |
| Die Größe wird **auf** 110% [auf 100 + p%] erhöht \\ | Die Größe wird **auf** 110% [auf 100 + p%] erhöht \\ | ||
| - | Die Größe wird mit dem **Wachstumsfaktor** q = 1,10 [q = 1 + $\frac{p}{100}$} multipliziert</note> | + | Die Größe wird mit dem **Wachstumsfaktor** q = 1,10 [q = 1 + $\frac{p}{100}$] multipliziert</note> |
| ===Berechnen des Prozentsatzes bzw. des Grundwertes=== | ===Berechnen des Prozentsatzes bzw. des Grundwertes=== | ||
| Um den Prozentsatz auszurechen, muss man den Anteil der Erhöhung vom Grundwert ermitteln. \\ | Um den Prozentsatz auszurechen, muss man den Anteil der Erhöhung vom Grundwert ermitteln. \\ | ||
| - | Bsp.: Erhöhung von 720 //auf// 774, also //um// 54 ⇒ $\frac{45}{720}$ = 0,075 = 7,5 % ⇒Erhöhung //um// 7,5%, //auf// 107,5% \\ | + | Bsp.: Erhöhung von 720 //auf// 774, also //um// 54 ⇒ $\frac{54}{720}$ = 0,075 = 7,5 % ⇒Erhöhung //um// 7,5%, //auf// 107,5% \\ |
| Ein anderer Weg ist, den Prozentwert durch den Grundwert zu teilen und von dem Prozentergebnis 100% abzuziehen. \\ | Ein anderer Weg ist, den Prozentwert durch den Grundwert zu teilen und von dem Prozentergebnis 100% abzuziehen. \\ | ||
| - | Bsp.: q = $\frac{774}{720}$ = 1,075 = 107,5% ⇒107,5% - 100% = 7,5% \\ | + | Bsp.: p% = $\frac{774}{720}$ = 1,075 = 107,5% ⇒107,5% - 100% = 7,5% \\ |
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| - | Um den Grundwert auszurechnen, musst du wissen, das sich der neue Prozentwert aus dem Grundwert und der Erhöhung um ... % des Grundwertes zusammensetzt. | + | Um den Grundwert auszurechnen, musst du wissen, dass sich der neue Prozentwert aus dem Grundwert und der Erhöhung um ... % des Grundwertes zusammensetzt. |
| Der neue Prozentwert ist 100% + z.B. 7,5%, also 107,5% des Grundwertes. \\ | Der neue Prozentwert ist 100% + z.B. 7,5%, also 107,5% des Grundwertes. \\ | ||
| Bsp.: Grundwert wird //um// 7,5% auf neuen Wert 774 (107,5%) erhöht \\ | Bsp.: Grundwert wird //um// 7,5% auf neuen Wert 774 (107,5%) erhöht \\ | ||
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| Um einen einfachen Dreisatz einsetzen zu dürfen, muss ein proportionaler Zusammenhang existieren. Dazu ein Beispiel: Du gehst in den Supermarkt und kaufst 6 Tafeln Schokolade für 3€. Wie viel müsstest du bezahlen, wenn du 8 Tafeln Schokolade kaufen wolltest? Für solche Fragen lohnt sich der Einsatz des Dreisatzes. Das Beispiel tragen wir in die Tabelle ein: \\ | Um einen einfachen Dreisatz einsetzen zu dürfen, muss ein proportionaler Zusammenhang existieren. Dazu ein Beispiel: Du gehst in den Supermarkt und kaufst 6 Tafeln Schokolade für 3€. Wie viel müsstest du bezahlen, wenn du 8 Tafeln Schokolade kaufen wolltest? Für solche Fragen lohnt sich der Einsatz des Dreisatzes. Das Beispiel tragen wir in die Tabelle ein: \\ | ||
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| - | Anzahl T | Preis \\ | + | ^ Anzahl T ^ Preis € ^ |
| - | 6 Tafeln = 3€ \\ | + | | 6 Tafeln | 3€ | |
| - | 8 Tafeln = x \\ | + | | 8 Tafeln | x | |
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| Da man nicht durch einfaches Multiplizieren von 6 Tafeln auf 8 Tafeln kommt, sucht man sich links einen Zwischenwert, auf den man durch angenehmes Dividieren auf beiden Seiten kommt. Damit ist gemeint, dass man eine Zahl wählt, durch die man auf beiden Seiten einfach teilen kann. In diesem Fall bietet sich durch 3 teilen an. Auf der linken Seite steht dann 2 Tafeln, rechts steht 1€. Wir haben nun den Preis für 2 Tafeln Schololade berechnet. \\ | Da man nicht durch einfaches Multiplizieren von 6 Tafeln auf 8 Tafeln kommt, sucht man sich links einen Zwischenwert, auf den man durch angenehmes Dividieren auf beiden Seiten kommt. Damit ist gemeint, dass man eine Zahl wählt, durch die man auf beiden Seiten einfach teilen kann. In diesem Fall bietet sich durch 3 teilen an. Auf der linken Seite steht dann 2 Tafeln, rechts steht 1€. Wir haben nun den Preis für 2 Tafeln Schololade berechnet. \\ | ||
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| - | Anzahl T | Preis \\ | + | ^ Anzahl T ^ Preis € ^ |
| - | 6 Tafeln = 3€ | :3\\ | + | | 6 Tafeln | 3€ | :3 |
| - | 2 Tafeln = 1€ \\ | + | | 2 Tafeln | 1€ | |
| - | 8 Tafeln = ? \\ | + | | 8 Tafeln | ? | |
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| Was muss man nun tun, um links auf 8 Tafeln zu kommen? Man multipliziert einfach mit 4 und da es sich hier um Dreisatz handelt, macht man dies auch auf der rechten Seite.\\ | Was muss man nun tun, um links auf 8 Tafeln zu kommen? Man multipliziert einfach mit 4 und da es sich hier um Dreisatz handelt, macht man dies auch auf der rechten Seite.\\ | ||
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| - | Anzahl T | Preis \\ | + | ^ Anzahl T ^ Preis € | :3\\ |
| - | 6 Tafeln = 3€ | :3\\ | + | | 2 Tafeln | 1€ | ·4\\ |
| - | 2 Tafeln = 1€ | ·4\\ | + | | 8 Tafeln | 4€ | |
| - | 8 Tafeln = 4€ \\ | + | |
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| Ergebnis: Man stellt fest 1€ · 4 = 4€, d. h. 8 Tafeln Schokolade kosten 4€. | Ergebnis: Man stellt fest 1€ · 4 = 4€, d. h. 8 Tafeln Schokolade kosten 4€. | ||
| Zeile 213: | Zeile 212: | ||
| Von 25 Schülern haben 8 Schüler eine Katze zuhause. Wie viel Prozent der Klasse sind das? \\ | Von 25 Schülern haben 8 Schüler eine Katze zuhause. Wie viel Prozent der Klasse sind das? \\ | ||
| {{:faecher:mathematik:mathebuch:dreisatz1.png?300|}} \\ | {{:faecher:mathematik:mathebuch:dreisatz1.png?300|}} \\ | ||
| - | <hidden>Quelle:</hidden> \\ | + | <hidden>Quelle: https://de.serlo.org/mathe/zahlen-groessen/prozent-zinsrechnung/prozentrechnung-mittels-dreisatz</hidden> \\ |
| Ergebnis: Es sind 32% der Klasse. \\ | Ergebnis: Es sind 32% der Klasse. \\ | ||
| Wichtig: Eigentlich schreibt man über die beiden Spalten das gegebene Wertepaar (in diesem Fall Anzahl der Schüler und Prozentanteil) sowie die Einheiten (z.B. L; €...). Das war hier nicht möglich, weil es sich um ein Bild handelt, das eingefügt wurde und ich nicht bearbeiten kann. Man sollte dies aber immer hinschreiben. Du siehst, wie einfach man mit dem Dreisatz Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kann. | Wichtig: Eigentlich schreibt man über die beiden Spalten das gegebene Wertepaar (in diesem Fall Anzahl der Schüler und Prozentanteil) sowie die Einheiten (z.B. L; €...). Das war hier nicht möglich, weil es sich um ein Bild handelt, das eingefügt wurde und ich nicht bearbeiten kann. Man sollte dies aber immer hinschreiben. Du siehst, wie einfach man mit dem Dreisatz Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kann. | ||
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| {{:faecher:mathematik:mathebuch:ebf6ea9a.png|}}\\ | {{:faecher:mathematik:mathebuch:ebf6ea9a.png|}}\\ | ||
| + | <hidden>Quelle: https://www.google.de/search?q=dreisatz+proportional&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiT0oySzZXTAhWTJhoKHTgTCpgQ_AUIBigB&biw=1280&bih=654#tbm=isch&q=dreisatz+antiproportional+pflastere&imgrc=1jWJ9QRDxi6crM:&spf=755</hidden> \\ | ||
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| Als Zwischenwert sucht man sich dieses Mal die Zahl 1 auf der linken Seite. Um dorthin zu gelangen, muss man durch 3 auf der linken Seite teilen. Doch auf der rechten Seite rechnet man, da es sich um Antiproportionalität handelt, entgegengesetzt. 12h · 3 = 36h ⇒ 1 Arbeiter würde 36h brauchen. \\ Danach multipliziert man auf der linken Seite 1 mit 4, um auf 4 Pflasterer zu kommen. Rechts rechnet man wieder entgegengesetzt, d. h. 36h : 4 = 9h. \\ | Als Zwischenwert sucht man sich dieses Mal die Zahl 1 auf der linken Seite. Um dorthin zu gelangen, muss man durch 3 auf der linken Seite teilen. Doch auf der rechten Seite rechnet man, da es sich um Antiproportionalität handelt, entgegengesetzt. 12h · 3 = 36h ⇒ 1 Arbeiter würde 36h brauchen. \\ Danach multipliziert man auf der linken Seite 1 mit 4, um auf 4 Pflasterer zu kommen. Rechts rechnet man wieder entgegengesetzt, d. h. 36h : 4 = 9h. \\ | ||
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| 6. Entscheide, ob die Zuordnung proportional ist.\\ | 6. Entscheide, ob die Zuordnung proportional ist.\\ | ||
| {{:faecher:mathematik:mathebuch:bil_dreisatz31.png?300|}} \\ | {{:faecher:mathematik:mathebuch:bil_dreisatz31.png?300|}} \\ | ||
| - | <hidden>Lösung: Zuordnung ist proportional.</hidden> | + | <hidden>Quelle: https://www.google.de/search?q=dreisatz+proportional&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiT0oySzZXTAhWTJhoKHTgTCpgQ_AUIBigB&biw=1280&bih=654#imgrc=TPE8b1JnOQYa_M:&spf=966\\ |
| + | Lösung: Die Zuordnung ist proportional, weil auf beiden Seiten die gleichen Schritte vorgenommen werden.</hidden> | ||
| 7. Drei Mähdrescher schaffen die Ernte eines großen Feldes in 12 Stunden. Wie viel Zeit benötigen 5 Mähdrescher? \\ | 7. Drei Mähdrescher schaffen die Ernte eines großen Feldes in 12 Stunden. Wie viel Zeit benötigen 5 Mähdrescher? \\ | ||
| <hidden>Lösung: Antiproportionale Zuordnung: 7,2h = 7h 12min</hidden> | <hidden>Lösung: Antiproportionale Zuordnung: 7,2h = 7h 12min</hidden> | ||