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faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2017/04/23 11:46] barescd [Logarithmengesetze] |
faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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**__L1__: $\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$** | **__L1__: $\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$** | ||
- | $a^m∙a^n=a^{m+n}$ | + | $b^m∙b^n=b^{m+n}$ |
- | $\log_a(a^m∙a^n)=\log_a(a^{m∙n})$ | + | $\log_b(b^m∙b^n)=\log_b(b^{m∙n})$ |
- | $\log_a(a^m+a^n)=m+n$ | + | $\log_b(b^m+b^n)=m+n$ |
- | <note important>Da wir den Logarithmus eines Produktes allgemein formulieren wollen, setzen wir für $a^m=x$ und für $a^n=y$</note> | + | <note important>Da wir den Logarithmus eines Produktes allgemein formulieren wollen, setzen wir für $b^m=x$ und für $b^n=y$</note> |
formt man die Potenz nun wieder in eine Logarithmusgleichung um, so gilt: | formt man die Potenz nun wieder in eine Logarithmusgleichung um, so gilt: | ||
- | $a^m=x$→$\log_a(x)=m$ | + | $b^m=x$→$\log_b(x)=m$ |
- | und $a^n=y$→$\log_a(y)=n$ | + | |
+ | und $b^n=y$→$\log_b(y)=n$ | ||
+ | |||
+ | $\log_b(b^m+b^n)=m+n$ | ||
+ | |||
+ | $\log_b(x∙y)= \log_b(x)+\log_b(y)$ | ||
__Division__ | __Division__ | ||
**__L2__: $\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$** | **__L2__: $\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$** | ||
+ | |||
+ | $\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$ | ||
+ | |||
+ | $\log_b(\frac{b^m}{b^n})=\log_b(b^{m-n})$ | ||
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+ | $\log_b(\frac{b^m}{b^n})=m-n$ | ||
+ | |||
+ | $\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$ | ||
__Potenz__ | __Potenz__ | ||
- | **__L3__: $\log_bx^r=r∙\log_bx$** | + | **__L3__: $\log_bx^y=y∙\log_bx$** |
- | Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, Logarithmengesetze, welche auch Ausnahmen darstellen, hier seht ihr die "wichtigsten": | + | $(b^m)^n=b^{m∙n}$ |
+ | |||
+ | $\log_b({(b^m)}^n)=\log_b(b^{m∙n})$ | ||
+ | |||
+ | $\log_b({(b^m)}^n)=m∙n$ | ||
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+ | $\log_bx^y=\log_b(x)∙y$ | ||
+ | |||
+ | $log_bx^y=y∙\log_bx$ | ||
+ | |||
+ | Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, Rechengesetze, welche sich nicht aus den Potenzgesetzen herleiten, jedoch trotzdem beweisen lassen. Hier seht ihr die "wichtigsten": | ||
__Wurzeln__ | __Wurzeln__ | ||
**$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$** | **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$** | ||
+ | <note warning>Beim Rechengesetz für Wurzeln wurde nur die Schreibweise verändert</note> | ||
- | __Basisumrechnung__ | + | __Basiswechselsatz__ |
**$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$** | **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$** | ||
+ | |||
+ | $x=b^{\log_b(x)} |\log_a$ | ||
+ | |||
+ | $\log_a(x)=\log_a(b^{\log_b(x)})$ | ||
+ | |||
+ | $\log_a(x)=\log_b(x)∙\log_a(b) |:\log_a(b)$ | ||
+ | |||
+ | $\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}=\log_b(x)$ | ||
Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-) | Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-) |