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faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2017/04/07 06:36]
barescd [Arten von Logarithmen] 		faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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  Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der "Welt der Logarithmen"​ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.LOL  Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der "Welt der Logarithmen"​ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.LOL
  
-Es gelten 3 __wichtige__ Logarithmengesetze:​+Es gelten 3 __wichtige__ Logarithmengesetze, welche sich aus den Potenzgesetzen herleiten lassen: 
  
 __Multiplikation__ __Multiplikation__
  
 **__L1__: ​  ​$\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$** **__L1__: ​  ​$\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$**
 +
 +$b^m∙b^n=b^{m+n}$
 +
 +$\log_b(b^m∙b^n)=\log_b(b^{m∙n})$
 +
 +$\log_b(b^m+b^n)=m+n$
 +
 +<note important>​Da wir den Logarithmus eines Produktes allgemein formulieren wollen, setzen wir für $b^m=x$ und für $b^n=y$</​note>​
 +formt man die Potenz nun wieder in eine Logarithmusgleichung um, so gilt:
 +$b^m=x$→$\log_b(x)=m$ ​
 +
 +und $b^n=y$→$\log_b(y)=n$
 +
 +$\log_b(b^m+b^n)=m+n$
 +
 +$\log_b(x∙y)= \log_b(x)+\log_b(y)$
  
 __Division__ __Division__
  
 **__L2__: ​  ​$\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$** **__L2__: ​  ​$\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$**
 +
 +$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$
 +
 +$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=\log_b(b^{m-n})$
 +
 +$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=m-n$ ​
 +
 +$\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$
  
 __Potenz__ __Potenz__
  
-**__L3__: ​  ​$\log_bx^r=r∙\log_bx$**+**__L3__: ​  ​$\log_bx^y=y∙\log_bx$**
  
-Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, ​Logarithmengesetze, welche ​auch Ausnahmen darstellen, hier seht ihr die "​wichtigsten":​+$(b^m)^n=b^{m∙n}$ 
 + 
 +$\log_b({(b^m)}^n)=\log_b(b^{m∙n})$ 
 + 
 +$\log_b({(b^m)}^n)=m∙n$ 
 + 
 +$\log_bx^y=\log_b(x)∙y$ 
 + 
 +$log_bx^y=y∙\log_bx$ 
 + 
 +Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, ​Rechengesetze, welche ​sich nicht aus den Potenzgesetzen herleiten, jedoch trotzdem beweisen lassen. Hier seht ihr die "​wichtigsten":​
  
 __Wurzeln__ __Wurzeln__
  
 **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$** **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$**
 +<note warning>​Beim Rechengesetz für Wurzeln wurde nur die Schreibweise verändert</​note>​
  
-__Basisumrechnung__+__Basiswechselsatz__
  
 **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$** **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$**
 +
 +$x=b^{\log_b(x)} ​ |\log_a$
 +
 +$\log_a(x)=\log_a(b^{\log_b(x)})$
 +
 +$\log_a(x)=\log_b(x)∙\log_a(b) ​ |:​\log_a(b)$
 +
 +$\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}=\log_b(x)$
  
 Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-) Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-)
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 ====Lösungen==== ====Lösungen====
 +<​hidden>​
 1) 1)
 **$$ **$$
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 A: Im Jahr 1969 überschritt die Bevölkerungsanzahl die 3 Mrd. Grenze A: Im Jahr 1969 überschritt die Bevölkerungsanzahl die 3 Mrd. Grenze
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