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faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2017/04/07 06:33]
barescd [Lösungen] 		faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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  Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der "Welt der Logarithmen"​ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.LOL  Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der "Welt der Logarithmen"​ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.LOL
  
-Es gelten 3 __wichtige__ Logarithmengesetze:​+Es gelten 3 __wichtige__ Logarithmengesetze, welche sich aus den Potenzgesetzen herleiten lassen: 
  
 __Multiplikation__ __Multiplikation__
  
 **__L1__: ​  ​$\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$** **__L1__: ​  ​$\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$**
 +
 +$b^m∙b^n=b^{m+n}$
 +
 +$\log_b(b^m∙b^n)=\log_b(b^{m∙n})$
 +
 +$\log_b(b^m+b^n)=m+n$
 +
 +<note important>​Da wir den Logarithmus eines Produktes allgemein formulieren wollen, setzen wir für $b^m=x$ und für $b^n=y$</​note>​
 +formt man die Potenz nun wieder in eine Logarithmusgleichung um, so gilt:
 +$b^m=x$→$\log_b(x)=m$ ​
 +
 +und $b^n=y$→$\log_b(y)=n$
 +
 +$\log_b(b^m+b^n)=m+n$
 +
 +$\log_b(x∙y)= \log_b(x)+\log_b(y)$
  
 __Division__ __Division__
  
 **__L2__: ​  ​$\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$** **__L2__: ​  ​$\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$**
 +
 +$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$
 +
 +$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=\log_b(b^{m-n})$
 +
 +$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=m-n$ ​
 +
 +$\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$
  
 __Potenz__ __Potenz__
  
-**__L3__: ​  ​$\log_bx^r=r∙\log_bx$**+**__L3__: ​  ​$\log_bx^y=y∙\log_bx$**
  
-Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, ​Logarithmengesetze, welche ​auch Ausnahmen darstellen, hier seht ihr die "​wichtigsten":​+$(b^m)^n=b^{m∙n}$ 
 + 
 +$\log_b({(b^m)}^n)=\log_b(b^{m∙n})$ 
 + 
 +$\log_b({(b^m)}^n)=m∙n$ 
 + 
 +$\log_bx^y=\log_b(x)∙y$ 
 + 
 +$log_bx^y=y∙\log_bx$ 
 + 
 +Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, ​Rechengesetze, welche ​sich nicht aus den Potenzgesetzen herleiten, jedoch trotzdem beweisen lassen. Hier seht ihr die "​wichtigsten":​
  
 __Wurzeln__ __Wurzeln__
  
 **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$** **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$**
 +<note warning>​Beim Rechengesetz für Wurzeln wurde nur die Schreibweise verändert</​note>​
  
-__Basisumrechnung__+__Basiswechselsatz__
  
 **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$** **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$**
 +
 +$x=b^{\log_b(x)} ​ |\log_a$
 +
 +$\log_a(x)=\log_a(b^{\log_b(x)})$
 +
 +$\log_a(x)=\log_b(x)∙\log_a(b) ​ |:​\log_a(b)$
 +
 +$\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}=\log_b(x)$
  
 Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-) Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-)
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 {{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​20170225_152106_1_.jpg?​nolink&​200|}} {{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​20170225_152106_1_.jpg?​nolink&​200|}}
  
-Dieser Logarithmus ist besonders, da die Eulersche Zahl (//e// = 2,​71828182849...) eine irrationale reelle Zahl ist und in der Analysis einzuordnen ist, also auch in allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik. Sie wird also auch beim exponentiellen Wachstum[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Exponentielles_Wachstum|Exponentielles Wachstum]], der Integral- und Differentialrechnung[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Integralrechnung|Integralrechnung]];​[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung|Differentialrechnung]] usw. benutzt.+Dieser Logarithmus ist besonders, da die Eulersche Zahl (//e// = 2,​71828182849...) eine irrationale reelle Zahl ist und in der Analysis einzuordnen ist, also auch in allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik. Sie wird also auch beim exponentiellen Wachstum[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Exponentielles_Wachstum|Exponentielles Wachstum]], der Integral- und Differentialrechnung[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Integralrechnung|Integralrechnung]];​[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung|Differentialrechnung]]/​[[faecher:​mathematik:​mathebuch:​differentialrechnung|Differentialrechnung]] usw. benutzt.
 Falls ihr mehr darüber erfahren wollt, dann klickt doch einfach die o.g. Links an.:-D Falls ihr mehr darüber erfahren wollt, dann klickt doch einfach die o.g. Links an.:-D
 Da die Eulersche Zahl in so viele mathematischen Teilgebieten eine große Rolle spielt, gilt sie als eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik!!! Da die Eulersche Zahl in so viele mathematischen Teilgebieten eine große Rolle spielt, gilt sie als eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik!!!
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-<​hidden>​====Lösungen====+====Lösungen==== 
 +<​hidden>​
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 A: Im Jahr 1969 überschritt die Bevölkerungsanzahl die 3 Mrd. Grenze A: Im Jahr 1969 überschritt die Bevölkerungsanzahl die 3 Mrd. Grenze
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