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faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2017/04/05 16:47]
barescd [Arten von Logarithmen] 		faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 ====Was ist Logarithmieren==== ====Was ist Logarithmieren====
 Das Logarithmieren ist stark mit dem Potenzieren (Quadrieren) und dem  Wurzelziehen verwandt. Das Logarithmieren ist stark mit dem Potenzieren (Quadrieren) und dem  Wurzelziehen verwandt.
-Anhand folgender Gleichung kann man dies gut erkennen+Anhand folgender Gleichung kann man dies gut erkennen:
  **$$  **$$
 \begin{array}{lcr} \begin{array}{lcr}
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 Beachte: Beachte:
 Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Daher muss auch die Basis positiv sein, also >0 Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Daher muss auch die Basis positiv sein, also >0
-→ $x=\log_0$ müsste dann $0=b^x$ bedeuten. Ist b ungleich 0 ist die jedoch für keine reelle Zahl lösbar+→ $x=\log_0$ müsste dann $0=b^x$ bedeuten. Ist b ungleich 0 ist die jedoch für keine reelle Zahl lösbar.
  
 <note warning>​Der komplexe Logarithmus bildet eine Ausnahme, sowohl hinsichtlich der Notwendigkeit positiver Zahlen als auch einiger Logarithmengesetze!</​note>​ <note warning>​Der komplexe Logarithmus bildet eine Ausnahme, sowohl hinsichtlich der Notwendigkeit positiver Zahlen als auch einiger Logarithmengesetze!</​note>​
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  Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der "Welt der Logarithmen"​ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.LOL  Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der "Welt der Logarithmen"​ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.LOL
  
-Es gelten 3 __wichtige__ Logarithmengesetze:​+Es gelten 3 __wichtige__ Logarithmengesetze, welche sich aus den Potenzgesetzen herleiten lassen: 
  
 __Multiplikation__ __Multiplikation__
  
 **__L1__: ​  ​$\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$** **__L1__: ​  ​$\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$**
 +
 +$b^m∙b^n=b^{m+n}$
 +
 +$\log_b(b^m∙b^n)=\log_b(b^{m∙n})$
 +
 +$\log_b(b^m+b^n)=m+n$
 +
 +<note important>​Da wir den Logarithmus eines Produktes allgemein formulieren wollen, setzen wir für $b^m=x$ und für $b^n=y$</​note>​
 +formt man die Potenz nun wieder in eine Logarithmusgleichung um, so gilt:
 +$b^m=x$→$\log_b(x)=m$ ​
 +
 +und $b^n=y$→$\log_b(y)=n$
 +
 +$\log_b(b^m+b^n)=m+n$
 +
 +$\log_b(x∙y)= \log_b(x)+\log_b(y)$
  
 __Division__ __Division__
  
 **__L2__: ​  ​$\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$** **__L2__: ​  ​$\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$**
 +
 +$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$
 +
 +$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=\log_b(b^{m-n})$
 +
 +$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=m-n$ ​
 +
 +$\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$
  
 __Potenz__ __Potenz__
  
-**__L3__: ​  ​$\log_bx^r=r∙\log_bx$**+**__L3__: ​  ​$\log_bx^y=y∙\log_bx$**
  
-Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, ​Logarithmengesetze, welche ​auch Ausnahmen darstellen, hier seht ihr die "​wichtigsten":​+$(b^m)^n=b^{m∙n}$ 
 + 
 +$\log_b({(b^m)}^n)=\log_b(b^{m∙n})$ 
 + 
 +$\log_b({(b^m)}^n)=m∙n$ 
 + 
 +$\log_bx^y=\log_b(x)∙y$ 
 + 
 +$log_bx^y=y∙\log_bx$ 
 + 
 +Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, ​Rechengesetze, welche ​sich nicht aus den Potenzgesetzen herleiten, jedoch trotzdem beweisen lassen. Hier seht ihr die "​wichtigsten":​
  
 __Wurzeln__ __Wurzeln__
  
 **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$** **$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$**
 +<note warning>​Beim Rechengesetz für Wurzeln wurde nur die Schreibweise verändert</​note>​
  
-__Basisumrechnung__+__Basiswechselsatz__
  
 **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$** **$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$**
 +
 +$x=b^{\log_b(x)} ​ |\log_a$
 +
 +$\log_a(x)=\log_a(b^{\log_b(x)})$
 +
 +$\log_a(x)=\log_b(x)∙\log_a(b) ​ |:​\log_a(b)$
 +
 +$\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}=\log_b(x)$
  
 Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-) Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen.8-)
Zeile 109: Zeile 153:
 Dieser Logarithmus wird auch Zweierlogarithmus genannt. Dieser Logarithmus wird auch Zweierlogarithmus genannt.
 $x = \log_2(y)⇔ y = 2^x$ $x = \log_2(y)⇔ y = 2^x$
-Für jeden dieser 5 Logarithmen gibt es auch eigene Schreibweisen,​ so wird der binäre ​Logarithmus oft statt $\log_2$ mit **$lb$** abgekürzt.+Für jeden dieser 5 Logarithmen gibt es auch eigene Schreibweisen,​ so wird der Binäre ​Logarithmus oft statt $\log_2$ mit **$lb$** abgekürzt.
 Die Basis dieses Logarithmus ist immer 2 (daher der Name) es gilt: Die Basis dieses Logarithmus ist immer 2 (daher der Name) es gilt:
 <note important>​Der Logarithmus zur Basis 2 einer Zahl x ist diejenige Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, um x zu erhalten!</​note>​ <note important>​Der Logarithmus zur Basis 2 einer Zahl x ist diejenige Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, um x zu erhalten!</​note>​
Zeile 158: Zeile 202:
 {{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​20170225_152106_1_.jpg?​nolink&​200|}} {{:​faecher:​mathematik:​mathebuch:​20170225_152106_1_.jpg?​nolink&​200|}}
  
-Dieser Logarithmus ist besonders, da die Eulersche Zahl (//e// = 2,​71828182849...) eine irrationale reelle Zahl ist und in der Analysis einzuordnen ist, also auch in allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik. Sie wird also auch beim exponentiellen Wachstum[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Exponentielles_Wachstum]],​ der Integral- und Differentialrechnung[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Integralrechnung]];​[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung]] usw. benutzt.+Dieser Logarithmus ist besonders, da die Eulersche Zahl (//e// = 2,​71828182849...) eine irrationale reelle Zahl ist und in der Analysis einzuordnen ist, also auch in allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik. Sie wird also auch beim exponentiellen Wachstum[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Exponentielles_Wachstum|Exponentielles Wachstum]], der Integral- und Differentialrechnung[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Integralrechnung|Integralrechnung]];​[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung|Differentialrechnung]]/​[[faecher:​mathematik:​mathebuch:​differentialrechnung|Differentialrechnung]] usw. benutzt.
 Falls ihr mehr darüber erfahren wollt, dann klickt doch einfach die o.g. Links an.:-D Falls ihr mehr darüber erfahren wollt, dann klickt doch einfach die o.g. Links an.:-D
 Da die Eulersche Zahl in so viele mathematischen Teilgebieten eine große Rolle spielt, gilt sie als eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik!!! Da die Eulersche Zahl in so viele mathematischen Teilgebieten eine große Rolle spielt, gilt sie als eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik!!!
-Der natürliche ​Logarithmus ist bei den komplexen Zahlen und der Trigonometrie [[faecher:​mathematik:​mathebuch:​trigonometrie_sinus_kosinus_tangens_in_dreiecken_sinus-_und_kosinussatz|]] auch von Bedeutung.+Der Natürliche ​Logarithmus ist bei den komplexen Zahlen und der Trigonometrie [[faecher:​mathematik:​mathebuch:​trigonometrie_sinus_kosinus_tangens_in_dreiecken_sinus-_und_kosinussatz|Trigonometrie]] auch von Bedeutung.
 Auch hier gilt:<​note important>​Der Logarithmus zur Basis //e// einer Zahl x ist diejenige Zahl, mit der man //e// potenzieren muss, um x zu erhalten!</​note>​ Auch hier gilt:<​note important>​Der Logarithmus zur Basis //e// einer Zahl x ist diejenige Zahl, mit der man //e// potenzieren muss, um x zu erhalten!</​note>​
-Die Schreibweise für den natürlichen ​Logarithmus ist: $\log_{e} $ → $\ln$+Die Schreibweise für den Natürlichen ​Logarithmus ist: $\log_{e} $ → $\ln$
  
 Allgemein gilt: Allgemein gilt:
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 $ln(−1)=ln|−1|+πi+2kπi=(2k+1)πi$ $ln(−1)=ln|−1|+πi+2kπi=(2k+1)πi$
  
-Weitere Erklärungen würden jedoch ein zu hohes Wissen erfordern, falls euch diese Logarithmen aber interessieren,​ dann schaut mal unter diesem Link nach [[http://​www.mathepedia.de/​Logarithmus.aspx]]+Weitere Erklärungen würden jedoch ein zu hohes Wissen erfordern, falls euch diese Logarithmen aber interessieren,​ dann schaut mal unter diesem Link nach [[http://​www.mathepedia.de/​Logarithmus.aspx|Komplexer Logarithmus]]
  
 ===Diskrete Logarithmen=== ===Diskrete Logarithmen===
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 mit $x$ auch $\pm x$ eine Lösung der Kongruenz. mit $x$ auch $\pm x$ eine Lösung der Kongruenz.
  
-Falls euch das Thema noch mehr interessiert,​ dann guckt auch hier gerne nochmal auf dieser Seite nach:​[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Diskreter_Logarithmus]]+Falls euch das Thema noch mehr interessiert,​ dann guckt auch hier gerne nochmal auf dieser Seite nach:​[[https://​de.wikipedia.org/​wiki/​Diskreter_Logarithmus|Diskreter Logarithmus]]
  
 ====Beispielaufgaben==== ====Beispielaufgaben====
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 ====Lösungen==== ====Lösungen====
 +<​hidden>​
 1) 1)
 **$$ **$$
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 A: Im Jahr 1969 überschritt die Bevölkerungsanzahl die 3 Mrd. Grenze A: Im Jahr 1969 überschritt die Bevölkerungsanzahl die 3 Mrd. Grenze
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