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faecher:mathematik:mathebuch:lineare_gleichungssysteme [2017/05/07 10:07]
schrads 		faecher:mathematik:mathebuch:lineare_gleichungssysteme [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 **1.Fall**: Es gibt genau eine Lösung. **1.Fall**: Es gibt genau eine Lösung.
-In diesem Fall haben die Geraden verschiedene Steigungen. Sie schneiden sich dann in einem Punkt (Schnittpunkt). ​ Der Schnittpunkt entspricht der Lösungsmenge.Das Gleichungssystem hat eine Lösung ​und die Lösungsmenge besteht aus einem Zahlenpaar.+In diesem Fall haben die Geraden verschiedene Steigungen. Sie schneiden sich dann in einem Punkt (Schnittpunkt). ​ Der Schnittpunkt entspricht der Lösungsmenge. Das Gleichungssystem hat eine Lösung. Die Lösungsmenge besteht ​also aus einem Zahlenpaar.
  
 {{ :​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tmp_6822-geogebra-export_4_-1685275000.png?​600 |}} {{ :​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tmp_6822-geogebra-export_4_-1685275000.png?​600 |}}
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 **2.Fall**: Es gibt keine Lösung. **2.Fall**: Es gibt keine Lösung.
-Beide Geraden haben in diesem Fall die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Dadurch liegen die beiden Geraden parallel zu einander.Das Gleichungssystem hat keine Lösung,die Lösungsmenge ist leer.(L={})+Beide Geraden haben in diesem Fall die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Dadurch liegen die beiden Geraden parallel zu einander. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer. (L={})
  
 {{ :​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tmp_6822-geogebra-export_5_1447510666.png?​600 |}} {{ :​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tmp_6822-geogebra-export_5_1447510666.png?​600 |}}
  
 **3.Fall**: Es gibt unendlich viele Lösungen. **3.Fall**: Es gibt unendlich viele Lösungen.
-Die beiden Geraden sind identisch in der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.Sie fallen also gleich. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen,​die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlenpaaren,​die diese Gleichung erfüllen.(L={(x|y)y=Geradengleichung})+Die beiden Geraden sind identisch in der Steigung und dem y-Achsenabschnitt. Sie fallen also gleich. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlenpaaren,​ die diese Gleichung erfüllen. (L={(x|y)y=Geradengleichung})
  
 {{ :​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tmp_6822-geogebra-export_7_1645978120.png?​600 |}} {{ :​faecher:​mathematik:​mathebuch:​tmp_6822-geogebra-export_7_1645978120.png?​600 |}}
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 <note important>​ <note important>​
   - Beide Gleichungen nach einer gemeinsamen Variabel lösen   - Beide Gleichungen nach einer gemeinsamen Variabel lösen
-  - Gleichungen gleichsetzten (eine der beiden ​Ausgsngsleichungen ​beibehalten)+  - Gleichungen gleichsetzten (eine der beiden ​Ausgangsgleichungen ​beibehalten)
   - Gleichung mit nur einer Variabel lösen und Wert in die zweite Gleichung einsetzen   - Gleichung mit nur einer Variabel lösen und Wert in die zweite Gleichung einsetzen
   - zweite Variable ausrechnen   - zweite Variable ausrechnen
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 ====Einsetzungsverfahren:​==== ====Einsetzungsverfahren:​====
  
-Das Einsetzungsverfahren ist eine weitere ​rechnerisches Verfahren um lineare Gleichungen zu lösen.+Das Einsetzungsverfahren ist eine weiteres ​rechnerisches Verfahren um lineare Gleichungen zu lösen.
 Dies führt einfacher und schneller zum Ergebnis, als das Gleichsetzungsverfahren. Dies führt einfacher und schneller zum Ergebnis, als das Gleichsetzungsverfahren.
 Auch hier sollte man sich folgendes merken um das Gleichungssystem zu lösen: Auch hier sollte man sich folgendes merken um das Gleichungssystem zu lösen:
 <note important>​ <note important>​
-  - EINE der beiden Gleichungen nach einer Variable auf lösen +  - EINE der beiden Gleichungen nach einer Variable auf lösen ​(falls nötig) 
-  - Term  für diese Variablr ​in die andere Gleichung einsetzen und Gleichung lösen+  - Term  für diese Variable ​in die andere Gleichung einsetzen und Gleichung lösen
   - Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 setzen ​   - Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 setzen ​
   - Lösungsmenge angeben   - Lösungsmenge angeben
Zeile 180: Zeile 180:
 $$ $$
 \begin {array} {lcr}  \begin {array} {lcr} 
-7x+3y(-2x+3)=14\\+7x+3(-2x+3)=14\\
                      ​y=-2x+3\\                      ​y=-2x+3\\
 \end {array} $$ \end {array} $$
Zeile 188: Zeile 188:
 $$ $$
 \begin {array} {lcr}  \begin {array} {lcr} 
-7x-6+9=14\\+7x-6x+9=14\\
           y=-2x+3\\           y=-2x+3\\
 \end {array} $$  ​ \end {array} $$  ​
Zeile 227: Zeile 227:
  
 <note important>​ <note important>​
-  - Variabeln (falls nötig) auf die rechte ​Seite des Gleichungssystem bringen,​sodass ​links nur noch eine Zahl steht+  - Variabeln (falls nötig) auf die linke Seite des Gleichungssystem bringen, sodass ​rechts ​nur noch eine Zahl steht
   -Multipliziere BEIDE Gleichungen mit verschiedenen Zahlen, sodass die Koeffizienten EINER Variablen in beiden Gleichungen Gegenzahlen sind   -Multipliziere BEIDE Gleichungen mit verschiedenen Zahlen, sodass die Koeffizienten EINER Variablen in beiden Gleichungen Gegenzahlen sind
   - Gleichungen miteinander addieren und eine Ausgangsgleichung beibehalten   - Gleichungen miteinander addieren und eine Ausgangsgleichung beibehalten
Zeile 303: Zeile 303:
 Schritt 1: Beschrifte das Gesuchte mit Variabeln! Schritt 1: Beschrifte das Gesuchte mit Variabeln!
 Bei unserem Beispiel wäre dies zum Beispiel: Bei unserem Beispiel wäre dies zum Beispiel:
-das Alter des Vaters=x+das Alter des Vaters=x,
 das Alter des Sohnes=y das Alter des Sohnes=y
 +
 Schritt 2: Stelle nun die 1. Gleichung mithilfe des obrigen Texts auf! Schritt 2: Stelle nun die 1. Gleichung mithilfe des obrigen Texts auf!
-Man erhält die Gleichung x=4×y,da der Vater ja viermal so alt wie der Sohn ist. +Man erhält die Gleichung x=4×y, da der Vater ja viermal so alt wie der Sohn ist. Als nächstes versuchen wir die 2. Gleichung mithilfe des Textes aufzustellen.Wir erhalten die Gleichung x+5=3(y+5). Diese setzt sich auf dem unbekannten Alter des Vaters (x) + 5, da der Vater ja in fünf Jahren nur noch dreimal so alt ist zusammen. Dies ist auch die Begründung der rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Seite, denn das jetzige Alter des Jungens(y) +5 Jahre ergibt mal drei gerechnet das Alter des Vaters. 
-Als nächstes versuchen wir die 2. Gleichung mithilfe des Textes aufzustellen. +
-Wir erhalten die Gleichung x+5=3(y+5).Diese setzt sich auf dem unbekannten Alter des Vaters (x) + 5, da der Vater ja in fünf Jahren nur noch dreimal so alt ist zusammen. Dies ist auch die Begründung der rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Seite,denn das jetzige Alter des Jungens(y) +5 Jahre ergibt mal drei gerechnet das Alter des Vaters.+
 Und schon ist das Gleichungssystem fertig: $$ Und schon ist das Gleichungssystem fertig: $$
 \begin{array}{lcr} \begin{array}{lcr}
Zeile 315: Zeile 315:
 \end{array}$$ \end{array}$$
  
-Dieses Gleichungssystem kannst du nun nach einem obrigen Rechenverfahren lösen.+Dieses Gleichungssystem kannst du nun  zur Übung ​nach einem  ​der ​obrigen Rechenverfahren lösen.
 Die Lösung findest du unter den Übungsaufgaben. Die Lösung findest du unter den Übungsaufgaben.
  
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 ====Übungsaufgaben:​==== ====Übungsaufgaben:​====
-Nun könnt ihr testen ob ihr das oben erklärte verstanden habt:+Nun könnt ihr testen, ob ihr das oben erklärte, verstanden habt:
  
 __ __
Zeile 380: Zeile 380:
  
  
-<note tip> Überprüfe dein Ergebnis, indem du das Ergebnis der Variabeln in die Augsgangsgleichung einsetzt ​+<note tip> Überprüfe dein Ergebnis, indem du das Ergebnis der Variabeln in die Augsgangsgleichung einsetzt!  
 +Erhälst du das Ergebnis, dass hinter dem Gleichheitszeichen steht, hast du richtig gerechnet. Falls du nicht dasselbe Ergebnis ausgerechnest hast, solltest du deinen Rechenweg nochmal kontrollieren.
 </​note>​ </​note>​