Unterschiede

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--- faecher:mathematik:mathebuch:kurvendiskussion [2017/05/02 21:49]
stimpek [Extrempunkte]
+++ faecher:mathematik:mathebuch:kurvendiskussion [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. An ihnen ist die Steigung gleich null. Zum berechnen dieser Punkte benötigt man die erste Ableitung (f'(x))!
 Also musst man die erste [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung|Ableitung]] gleich null setzen! Und nach x auflösen!
-<code latex>f'(x) = 0</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f'(x) = 0
+\end {array}$$
 Als nächstes muss man bestimmen ob es sich in diesem Fall um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt!
 Dazu brauchen wir die 2. Ableitung!
@@ Zeile 244: / Zeile 247: @@
 ====Wendepunkte====
 Ein Wendepunkt ist ein Punkt im Funktionsgraphen mit der extremsten Steigung. Am Wendepunkt ist die Krümmung gleich null und dort wechselt sie vom Positiven ins Negative oder andersrum.
-Da die 2. Ableitung die Krümmung angibt, benötigen wir sie um den Punkt in welchem die Krümmung gleich null ist zu errechnen!
+Da die 2. [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung|Ableitung]] die Krümmung angibt, benötigen wir sie um den Punkt in welchem die Krümmung gleich null ist zu errechnen!
 Es gilt:
-<code latex>f''(x) = 0</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f''(x) &=& 0
+\end {array}$$
 Nun muss nach x aufgelöst werden!
 Um zu zeigen das dies wirklich ein Wendepunkt ist, muss die 3. Ableitung ungleich null sein!
 Es muss also gelten:
-<code latex>f'''(x)  ≠  0</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f'''(x)  &≠&  0
+\end {array}$$
 Als letztes muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!
+<note important>
+__Erstens:__ Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann)\\
+__Zweitens:__ Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf. \\
+__Drittens:__ Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein.\\
+__Viertens:__ Den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten.\\
+</note>
 ===Faustregel===
-Wenn der höchste Exponent 2 bzw 1 ist, sind keine Wendepunkte vorhanden.
+<note tip>Wenn der höchste Exponent 2 bzw 1 ist, sind keine Wendepunkte vorhanden.</note>
 ===Bsp:===
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) &=& x³ + 6x²\\
+\end {array}$$
-=Erstens= Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann)
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-x3_6x2.jpg?400 }}
-<code latex>
+__Erstens:__ Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann)
-f(x) = x³ + 6x²
+$$
-f'(x) = 3x² + 12x
+\begin {array} {lcr}
-f''(x) = 6x + 12
+f(x) &=& x³ + 6x²\\
-f'''(x) = 6
+f'(x) &=& 3x² + 12x\\
-</code>
+f''(x) &=& 6x + 12\\
+f'''(x) &=& 6\\
+\end {array}$$
-=Zweitens= Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf.
+__Zweitens:__ Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf.
-<code latex>
+$$
-f''(x) = 0
+\begin {array} {lcr}
-x + 12 = 0 | -12
+f''(x) &=& 0\\
-x = -12 | :6
+x + 12 &=& 0 &|& -12\\
-x = -2
+x &=& -12 &|& :6\\
-</code>
+x &=& -2\\
+\end {array}$$
 => Der Wendepunkt ist beim x-Wert -2
-=Drittens= Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein
+__Drittens:__ Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein
-<code latex>
+$$
-f'''(x)  ≠  0
+\begin {array} {lcr}
-  ≠  0
+f'''(x)  &≠&  0\\
-</code>
+  &≠&  0\\
+\end {array}$$
 => 6 ist ungleich 0, dass heißt es ist wirklich ein Wendepunkt
-=Viertens= Nun muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!
+__Viertens:__ Nun muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!
-<code latex>
+$$
-f(-2) = (-2)³ + 6(-2)²
+\begin {array} {lcr}
-f(-2) = -8 + 24
+f(-2) &=& (-2)³ + 6(-2)²\\
-f(-2) = 16
+f(-2) &=& -8 + 24\\
-</code>
+f(-2) &=& 16\\
+\end {array}$$
 => Die y-Koordinate ist 16. Das heißt der Wendepunkt liegt bei W(-2|16).
@@ Zeile 321: / Zeile 347: @@
 ===Zweites Bsp:===
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-x3_1.jpg?300 }}
 Im positiven unendlichen:
 $$
@@ Zeile 335: / Zeile 361: @@
 \end {array}$$
+====Graph zeichen====
+Der letzte Schritt der Kurvendiskussion ist im Grunde eine Zusammenfassung von allem, was bis jetzt über die Funktion herausgefunden wurde. Es geht darum eine geeignete Zeichnung zu erstellen, welche alle wichtigen Merkmale der Funktion zeigt.
+Hierzu nimmt man dich den niedrigsten und höchsten besonderen Punkt der Funktion vor (Nullstelle, Schnittpunkt mit der y-Achse, Definitionslücke,Extrempunkt oder Wendepunkt) und mit plus ein/zwei Zentimeter links und rechts davon sollten sie den gezeichneten Bereich einschließen.
@@ Zeile 342: / Zeile 372: @@
 ====Aufgabe 1====
-<code latex>f(x) = x² + 4x + 2</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = x² + 4x + 2
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 2====
-<code latex>f(x) = x³ + 6x </code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = x³ + 6x
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 3====
-<code latex>f(x) = $\frac{1}{x²}$ </code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = \frac{1}{x²}
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 4====
-<code latex>f(x) = x - $\sqrt{2x+4}$ </code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = x - \sqrt{2x+4}
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 5====
-<code latex>f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5
+\end {array}$$
@@ Zeile 390: / Zeile 417: @@
 ====Lösung Aufgabe 1====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = x² + 4x + 2$\\
 Nullstellen: $N_1$(-3,41|0) $N_2$(-0,59|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|2)\\
@@ Zeile 397: / Zeile 425: @@
 Wendepunkte: Keine\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = \infty$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-lösung1.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 2====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = x³ + 6x$\\
 Nullstellen: $N_1$(0|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|0)\\
@@ Zeile 407: / Zeile 439: @@
 Wendepunkte: W(0|0)\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = -\infty$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung2.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 3====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = \frac{1}{x²}$\\
 Nullstellen: Keine\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: Keiner\\
@@ Zeile 417: / Zeile 452: @@
 Wendepunkte: Keine\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = 0$ und $lim(x->-\infty) f(x) = 0$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung3.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 4====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = x - \sqrt{2x+4}$\\
 Nullstellen: $N_1$(-2|0) $N_2$(3,2|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|-2)\\
@@ Zeile 427: / Zeile 465: @@
 Wendepunkte: Keine\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = nicht definiert\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung4.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 5====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5$\\
 Nullstellen: $N_1$(-2|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|5)\\
@@ Zeile 437: / Zeile 478: @@
 Wendepunkte: W(-0,22|6,4)\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = -\infty$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung5.jpg?500 }}
 </hidden>

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