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--- faecher:mathematik:mathebuch:kurvendiskussion [2017/04/23 17:48]
stimpek [Extrempunkte]
+++ faecher:mathematik:mathebuch:kurvendiskussion [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 ====Nullstellen====
 Eine Nullstelle ist immer dort vorhanden, wo der Graph die x-Achse schneidet bzw. berührt. An der x-Achse ist der y-Wert, also der Funktionswert gleich Null.
-Das heißt, um die Nullstellen einer Funktion auszurechnen muss man die Funktion gleich Null setzen und nach x auflösen!
+Das heißt, um die Nullstellen einer Funktion auszurechnen muss man die Funktion gleich Null setzen und [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:gleichungen_mit_einer_variablen|nach x auflösen]].
 <note important>1. f(x) = 0 \\
 . Nach x auflösen</note>
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 ===Möglichkeit 1:===
-__Wurzelfunktionen:__ Man kann keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, somit ist der Bereich, wo die Funktion unter der Wurzel negativ ist, nicht definiert.
+__Wurzelfunktionen:__ Man kann keine [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:wurzel|Wurzel]] aus einer negativen Zahl ziehen, somit ist der Bereich, wo die Funktion unter der Wurzel negativ ist, nicht definiert.
 <note important>
 . Wert unter der Wurzel < 0 \\
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 ===Möglichkeit 2:===
-__Logarithmusfunktionen:__ Man kann keinen Logarithmus aus einer Zahl kleiner gleich null berechnen, somit ist der Bereich wo die Funktion im Logarithmus kleiner gleich 0 ist, nicht definiert.
+__Logarithmusfunktionen:__ Man kann keinen [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:logarithmen|Logarithmus]] aus einer Zahl kleiner gleich null berechnen, somit ist der Bereich wo die Funktion im Logarithmus kleiner gleich 0 ist, nicht definiert.
 <note important>
 . Wert im Logarithmus $\le$ 0 \\
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 ===Möglichkeit 3:===
-__Bruchfunktionen:__ Man kann eine Zahl nicht durch null teilen, somit ist die Funktion an den Stellen wo der Nenner gleich null ist, nicht definiert.
+__Bruchfunktionen:__ Man kann eine Zahl nicht durch null teilen, somit ist die Funktion an den Stellen wo der Nenner gleich null ist, nicht definiert. [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:bruchrechnung|Bruchrechnung]]
 ===Bsp:===
 $$
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 ====Extrempunkte====
 Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. An ihnen ist die Steigung gleich null. Zum berechnen dieser Punkte benötigt man die erste Ableitung (f'(x))!
-Also musst man die erste Ableitung gleich null setzen! Und nach x auflösen!
+Also musst man die erste [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung|Ableitung]] gleich null setzen! Und nach x auflösen!
-<code latex>f'(x) = 0</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f'(x) = 0
+\end {array}$$
 Als nächstes muss man bestimmen ob es sich in diesem Fall um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt!
 Dazu brauchen wir die 2. Ableitung!
@@ Zeile 183: / Zeile 186: @@
 <note important>
-. und 2. Ableitung der Funktion bestimmen.\\
+__Erstens:__ 1. und 2. Ableitung der Funktion bestimmen.\\
-. Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen.\\
+__Zweitens:__ 1. Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen.\\
-. Ableitung am x-Wert anschauen und bestimmen ob es ein Hoch-/Tiefpunkt ist.\\
+__Drittens:__ 2. Ableitung am x-Wert anschauen und bestimmen ob es ein Hoch-/Tiefpunkt ist.\\
-x-Wert in die Originalfunktion einsetzen um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen.
+__Viertens:__ x-Wert in die Originalfunktion einsetzen um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen.
 </note>
@@ Zeile 206: / Zeile 209: @@
 \end {array}$$
 {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-x2_x.jpg?500 }}
-__Erstens__:
+__Erstens:__
 . und 2. Ableitung der Funktion bestimmen
 $$
@@ Zeile 215: / Zeile 218: @@
 \end {array}$$
-__Zweitens__:
+__Zweitens:__
 . Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen
 $$
@@ Zeile 226: / Zeile 229: @@
 => Der Extrempunkt liegt bei x = -0,5
-__Drittens__:
+__Drittens:__
 . Ableitung bei -0,5 anschauen
 $$
@@ Zeile 234: / Zeile 237: @@
 => Die 2. Ableitung am Extrempunkt ist positiv, also ist es ein Tiefpunkt
-__Viertens__:
+__Viertens:__
 Der x-Wert muss wieder in die Originalfunktion eingesetzt werden um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen.
 $$
@@ Zeile 244: / Zeile 247: @@
 ====Wendepunkte====
 Ein Wendepunkt ist ein Punkt im Funktionsgraphen mit der extremsten Steigung. Am Wendepunkt ist die Krümmung gleich null und dort wechselt sie vom Positiven ins Negative oder andersrum.
-Da die 2. Ableitung die Krümmung angibt, benötigen wir sie um den Punkt in welchem die Krümmung gleich null ist zu errechnen!
+Da die 2. [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung|Ableitung]] die Krümmung angibt, benötigen wir sie um den Punkt in welchem die Krümmung gleich null ist zu errechnen!
 Es gilt:
-<code latex>f''(x) = 0</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f''(x) &=& 0
+\end {array}$$
 Nun muss nach x aufgelöst werden!
 Um zu zeigen das dies wirklich ein Wendepunkt ist, muss die 3. Ableitung ungleich null sein!
 Es muss also gelten:
-<code latex>f'''(x)  ≠  0</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f'''(x)  &≠&  0
+\end {array}$$
 Als letztes muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!
+<note important>
+__Erstens:__ Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann)\\
+__Zweitens:__ Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf. \\
+__Drittens:__ Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein.\\
+__Viertens:__ Den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten.\\
+</note>
 ===Faustregel===
-Wenn der höchste Exponent 2 bzw 1 ist, sind keine Wendepunkte vorhanden.
+<note tip>Wenn der höchste Exponent 2 bzw 1 ist, sind keine Wendepunkte vorhanden.</note>
 ===Bsp:===
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) &=& x³ + 6x²\\
+\end {array}$$
-=Erstens= Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann)
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-x3_6x2.jpg?400 }}
-<code latex>
+__Erstens:__ Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann)
-f(x) = x³ + 6x²
+$$
-f'(x) = 3x² + 12x
+\begin {array} {lcr}
-f''(x) = 6x + 12
+f(x) &=& x³ + 6x²\\
-f'''(x) = 6
+f'(x) &=& 3x² + 12x\\
-</code>
+f''(x) &=& 6x + 12\\
+f'''(x) &=& 6\\
+\end {array}$$
-=Zweitens= Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf.
+__Zweitens:__ Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf.
-<code latex>
+$$
-f''(x) = 0
+\begin {array} {lcr}
-x + 12 = 0 | -12
+f''(x) &=& 0\\
-x = -12 | :6
+x + 12 &=& 0 &|& -12\\
-x = -2
+x &=& -12 &|& :6\\
-</code>
+x &=& -2\\
+\end {array}$$
 => Der Wendepunkt ist beim x-Wert -2
-=Drittens= Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein
+__Drittens:__ Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein
-<code latex>
+$$
-f'''(x)  ≠  0
+\begin {array} {lcr}
-  ≠  0
+f'''(x)  &≠&  0\\
-</code>
+  &≠&  0\\
+\end {array}$$
 => 6 ist ungleich 0, dass heißt es ist wirklich ein Wendepunkt
-=Viertens= Nun muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!
+__Viertens:__ Nun muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!
-<code latex>
+$$
-f(-2) = (-2)³ + 6(-2)²
+\begin {array} {lcr}
-f(-2) = -8 + 24
+f(-2) &=& (-2)³ + 6(-2)²\\
-f(-2) = 16
+f(-2) &=& -8 + 24\\
-</code>
+f(-2) &=& 16\\
+\end {array}$$
 => Die y-Koordinate ist 16. Das heißt der Wendepunkt liegt bei W(-2|16).
@@ Zeile 296: / Zeile 322: @@
 Um das verhalten im positiven unendlichen zu berechnen muss der $lim(x->\infty)$ der Funktion berechnet werden.
 (für den lim muss man im Grunde unendlich bzw -unendlich für x einsetzen und sich überlegen was rauskommt. Z.B. $\infty² = \infty$ oder $\frac{1}{\infty} = 0$)
+$$
-$lim(x->\infty) f(x)$
+\begin {array} {lcr}
+lim(x->\infty) f(x)\\
+\end {array}$$
 Um das verhalten im negativen unendlichen zu berechnen muss der $lim(x->-\infty)$ der Funktion berechnet werden.
+$$
-$lim(x->-\infty) f(x)$
+\begin {array} {lcr}
+lim(x->-\infty) f(x)\\
+\end {array}$$
 ===Erstes Bsp:===
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-x2_4.jpg?300 }}
 Im positiven unendlichen:
+$$
-$f(x) = x² + 4$\\
+\begin {array} {lcr}
-$lim(x->\infty) f(x) = \infty$\\
+f(x) &=& x² + 4\\
+lim(x->\infty) f(x) &=& \infty\\
+\end {array}$$
 Im negativen unendlichen:
+$$
-$f(x) = x² + 4$\\
+\begin {array} {lcr}
-$lim(x->-\infty) f(x) = \infty $\\
+f(x) &=& x² + 4\\
+lim(x->-\infty) f(x) &=& \infty \\
+\end {array}$$
 ===Zweites Bsp:===
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-x3_1.jpg?300 }}
 Im positiven unendlichen:
+$$
-$f(x) = x³ + 1$\\
+\begin {array} {lcr}
-$lim(x->\infty) f(x) = \infty$\\
+f(x) &=& x³ + 1\\
+lim(x->\infty) f(x) &=& \infty\\
+\end {array}$$
 Im negativen unendlichen:
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) &=& x³ + 1\\
+lim(x->-\infty) f(x) &=& -\infty\\
+\end {array}$$
-$f(x) = x³ + 1$\\
+====Graph zeichen====
-$lim(x->-\infty) f(x) = -\infty$\\
+Der letzte Schritt der Kurvendiskussion ist im Grunde eine Zusammenfassung von allem, was bis jetzt über die Funktion herausgefunden wurde. Es geht darum eine geeignete Zeichnung zu erstellen, welche alle wichtigen Merkmale der Funktion zeigt.
+Hierzu nimmt man dich den niedrigsten und höchsten besonderen Punkt der Funktion vor (Nullstelle, Schnittpunkt mit der y-Achse, Definitionslücke,Extrempunkt oder Wendepunkt) und mit plus ein/zwei Zentimeter links und rechts davon sollten sie den gezeichneten Bereich einschließen.
@@ Zeile 337: / Zeile 372: @@
 ====Aufgabe 1====
-<code latex>f(x) = x² + 4x + 2</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = x² + 4x + 2
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 2====
-<code latex>f(x) = x³ + 6x </code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = x³ + 6x
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 3====
-<code latex>f(x) = $\frac{1}{x²}$ </code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = \frac{1}{x²}
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 4====
-<code latex>f(x) = x - $\sqrt{2x+4}$ </code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = x - \sqrt{2x+4}
+\end {array}$$
 ====Aufgabe 5====
-<code latex>f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5</code>
+$$
+\begin {array} {lcr}
+f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5
+\end {array}$$
@@ Zeile 385: / Zeile 417: @@
 ====Lösung Aufgabe 1====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = x² + 4x + 2$\\
 Nullstellen: $N_1$(-3,41|0) $N_2$(-0,59|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|2)\\
@@ Zeile 392: / Zeile 425: @@
 Wendepunkte: Keine\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = \infty$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-lösung1.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 2====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = x³ + 6x$\\
 Nullstellen: $N_1$(0|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|0)\\
@@ Zeile 402: / Zeile 439: @@
 Wendepunkte: W(0|0)\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = -\infty$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung2.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 3====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = \frac{1}{x²}$\\
 Nullstellen: Keine\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: Keiner\\
@@ Zeile 412: / Zeile 452: @@
 Wendepunkte: Keine\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = 0$ und $lim(x->-\infty) f(x) = 0$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung3.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 4====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = x - \sqrt{2x+4}$\\
 Nullstellen: $N_1$(-2|0) $N_2$(3,2|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|-2)\\
@@ Zeile 422: / Zeile 465: @@
 Wendepunkte: Keine\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = nicht definiert\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung4.jpg?500 }}
 </hidden>
 ====Lösung Aufgabe 5====
 <hidden>
+Funktion: $f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5$\\
 Nullstellen: $N_1$(-2|0)\\
 Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|5)\\
@@ Zeile 432: / Zeile 478: @@
 Wendepunkte: W(-0,22|6,4)\\
 Randverhalten: $lim(x->\infty) f(x) = \infty$ und $lim(x->-\infty) f(x) = -\infty$\\
+Graph: \\
+{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kd-loesung5.jpg?500 }}
 </hidden>

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