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faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung [2017/04/03 19:09]
droesek 		faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 Wie funktioniert das am Beispiel der Normalparabel ​ $f(x)=x^2$ ? Wie funktioniert das am Beispiel der Normalparabel ​ $f(x)=x^2$ ?
  
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:parabel.ggb ​|}} Man sucht sich den Punkt A und den Punkt A+DX (A+DX ist im Schaubild als B bezeichnet)+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/parabel.ggb_hihi.ggb</​ggb>
  
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:dx_dy.ggb ​|}}+ 
 +Man sucht sich den Punkt A und den Punkt A+DX (A+DX ist im Schaubild als B bezeichnet) 
 +<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/dx_dy.ggb</​ggb>​
  
 ** $m=\frac{dy}{dx}$** ​                       Aber was ist dy?                ** $dy= (a+dx )^2-a^2$** ** $m=\frac{dy}{dx}$** ​                       Aber was ist dy?                ** $dy= (a+dx )^2-a^2$**
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 also                                                                                              also                                                                                             
  
-**$m=\frac{(a+dx)^2- a^2}{dx} =\frac{a^2 ​"+2a×dx+dx^2 - a^2}{dx}$** <note important>​(Im Zähler wird die [[faecher:​mathematik:​mathebuch:​binomische_formeln|Binomische Formeln]] angewendet)</​note>​+**$m=\frac{(a+dx)^2- a^2}{dx} =\frac{a^2 +2a×dx+dx^2 - a^2}{dx}$** <note important>​(Im Zähler wird die [[faecher:​mathematik:​mathebuch:​binomische_formeln|Binomische Formeln]] angewendet)</​note>​
  
 +a² und -a² heben sich auf, genau wie sich die beiden dx wegkürzen, das bedeutet es bleibt **$m=2a+dx$.** +a² und -a² heben sich auf, genau wie sich die beiden dx wegkürzen, das bedeutet es bleibt **$m=2a+dx$.**
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 Es gibt außerdem noch höhere Ableitungen. Das bedeutet, dass unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der 1. Ableitung weitere Ableitung gemacht werden können, also eine 2. oder noch höhere Ableitungen gebildet werden können, aber um diese lösen zu können, braucht man einige Regeln. ​ Es gibt außerdem noch höhere Ableitungen. Das bedeutet, dass unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der 1. Ableitung weitere Ableitung gemacht werden können, also eine 2. oder noch höhere Ableitungen gebildet werden können, aber um diese lösen zu können, braucht man einige Regeln. ​
-Zum Ableiten gibt es 5 Regeln:+ 
 +====Regeln ​zum Ableiten====
  
 __**1. Potenzregel:​**__ __**1. Potenzregel:​**__
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 $f'​(x)=\frac{(4x)×(8x-1)-(2x^2+3)×(8)}{(8x+1)}^2$ ​ $f'​(x)=\frac{(4x)×(8x-1)-(2x^2+3)×(8)}{(8x+1)}^2$ ​
 +
 +**__6. Kettenregel__**
 +
 +Diese Regel kommt zum einsatz, wenn zwei Funktionen minteinander in Verbindung gebracht werden, wie bei
 +
 +$f(x)=e(r(x))$. Die dazugehörige Ableitung lautet $f'​(x)=e'​(r(x))×r'​(x)$
 +
 +Man sagt, dass e(x) die **äußere Funktion** und r(x) die **innere Funktion** ist. Um so eine Funktion f lösen zu können, muss man zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen e(x) und r(x) berechnen und dann in die Formel einsetzten.
 +
 +__Beispiel:​__
 +
 +$f(x)=(2x+4)^2$
 +
 +$f'​(x)=2×(2x+4)×2$
 +
 +$f'​(x)=4×(2x+4)$
 +
 +$f'​(x)=8x+16$
 +
 +
 +
  
 Wenn man diese Regeln kennt und anwenden kann, wird es einem möglich, auch höhere Ableitungen bilden zu können. Wenn man diese Regeln kennt und anwenden kann, wird es einem möglich, auch höhere Ableitungen bilden zu können.
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-___**Probeaufgaben**__+====Probeaufgaben====
  
  
Zeile 149: Zeile 173:
  
  
-a) $f(x)=x^4$+a) $f(x)=x^4$ ​((Lösung: $f'​(x)=4x^3$))
         ​         ​
  
-b) $f(x)=3×x^2$+b) $f(x)=3×x^2$ ​((Lösung: $f'​(x)=6x$))
  
                
-c) $f(x)=5x$+c) $f(x)=5x$ ​((Lösung: $f'​(x)=5$))
  
  
-d) $f(x)=3x^2+2x^3+4x^3$ ​     +d) $f(x)=3x^2+2x^3+4x^3$ ​((Lösung:​$f'​(x)=3×2x+2×3x^2+4×3x^2$)) ​    
  
  
-e)$f(x)=\frac{x}{(x^2-4)}$+e)$f(x)=\frac{x}{(x^2-4)}$ ​((Lösung: $f'​(x)=\frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2}$))
  
  
  
-Mehr Informationen findet ihr unter anderem [[http://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung]] ​+Mehr Informationen findet ihr unter anderem ​bei [[http://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung]] ​und
  
 [[http://​www.frustfrei-lernen.de/​mathematik/​differentialrechnung-differenzialrechnung.html]] [[http://​www.frustfrei-lernen.de/​mathematik/​differentialrechnung-differenzialrechnung.html]]