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faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung [2017/04/03 18:13]
droesek 		faecher:mathematik:mathebuch:differentialrechnung [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 Differentialrechnung benötigt man, um an einem bestimmten Punkt an einer nichtlinearen Funktion die Steigung zu berechnen. Ein Beispiel für eine nichtlineare Funktion ist eine Parabel. Auf einer Parabel beziehungsweise auf jeder nichtlinearen Funktion hat jeder Punkt eine andere Steigung. Differentialrechnung benötigt man, um an einem bestimmten Punkt an einer nichtlinearen Funktion die Steigung zu berechnen. Ein Beispiel für eine nichtlineare Funktion ist eine Parabel. Auf einer Parabel beziehungsweise auf jeder nichtlinearen Funktion hat jeder Punkt eine andere Steigung.
  
-Um die Steigung an einem **Punkt ​a** zu berechnen muss man sich zusätzlich zum Punkt a einen weiteren Punkt suchen, der so nah an a liegt, dass die Krümmung nicht mehr zu sehen ist, da sonst das Ergebnis zu ungenau wäre. Den Abstand zwischen Punkt a und dem zweiten Punkt nennt man **dx** und deshalb heißt der zweite Punkt **a+dx**.+Um die Steigung an einem **Punkt ​A** zu berechnen muss man sich zusätzlich zum Punkt a einen weiteren Punkt suchen, der so nah an a liegt, dass die Krümmung nicht mehr zu sehen ist, da sonst das Ergebnis zu ungenau wäre. Den Abstand zwischen Punkt a und dem zweiten Punkt beträgt ​**Dx** und deshalb heißt der zweite Punkt **A+Dx**.
  
 Wenn man sich a+dx gesucht hat, rechnet man die Steigung m aus. Wenn man sich a+dx gesucht hat, rechnet man die Steigung m aus.
  
 Wie funktioniert das am Beispiel der Normalparabel ​ $f(x)=x^2$ ? Wie funktioniert das am Beispiel der Normalparabel ​ $f(x)=x^2$ ?
 +
 +<ggb 240>/​faecher/​mathematik/​mathebuch/​parabel.ggb_hihi.ggb</​ggb>​
 +
 +
 +Man sucht sich den Punkt A und den Punkt A+DX (A+DX ist im Schaubild als B bezeichnet)
 +<ggb 240>/​faecher/​mathematik/​mathebuch/​dx_dy.ggb</​ggb>​
  
 ** $m=\frac{dy}{dx}$** ​                       Aber was ist dy?                ** $dy= (a+dx )^2-a^2$** ** $m=\frac{dy}{dx}$** ​                       Aber was ist dy?                ** $dy= (a+dx )^2-a^2$**
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 also                                                                                              also                                                                                             
  
-**$m=\frac{(a+dx)^2- a^2}{dx} =\frac{a^2 ​"+2a×dx+dx^2 - a^2}{dx}$** <note important>​(Im Zähler wird die [[faecher:​mathematik:​mathebuch:​binomische_formeln|Binomische Formeln]] angewendet)</​note>​+**$m=\frac{(a+dx)^2- a^2}{dx} =\frac{a^2 +2a×dx+dx^2 - a^2}{dx}$** <note important>​(Im Zähler wird die [[faecher:​mathematik:​mathebuch:​binomische_formeln|Binomische Formeln]] angewendet)</​note>​
  
 +a² und -a² heben sich auf, genau wie sich die beiden dx wegkürzen, das bedeutet es bleibt **$m=2a+dx$.** +a² und -a² heben sich auf, genau wie sich die beiden dx wegkürzen, das bedeutet es bleibt **$m=2a+dx$.**
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 Es gibt außerdem noch höhere Ableitungen. Das bedeutet, dass unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der 1. Ableitung weitere Ableitung gemacht werden können, also eine 2. oder noch höhere Ableitungen gebildet werden können, aber um diese lösen zu können, braucht man einige Regeln. ​ Es gibt außerdem noch höhere Ableitungen. Das bedeutet, dass unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der 1. Ableitung weitere Ableitung gemacht werden können, also eine 2. oder noch höhere Ableitungen gebildet werden können, aber um diese lösen zu können, braucht man einige Regeln. ​
-Zum Ableiten gibt es 5 Regeln:+ 
 +====Regeln ​zum Ableiten====
  
 __**1. Potenzregel:​**__ __**1. Potenzregel:​**__
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 $f'​(x)=\frac{(4x)×(8x-1)-(2x^2+3)×(8)}{(8x+1)}^2$ ​ $f'​(x)=\frac{(4x)×(8x-1)-(2x^2+3)×(8)}{(8x+1)}^2$ ​
 +
 +**__6. Kettenregel__**
 +
 +Diese Regel kommt zum einsatz, wenn zwei Funktionen minteinander in Verbindung gebracht werden, wie bei
 +
 +$f(x)=e(r(x))$. Die dazugehörige Ableitung lautet $f'​(x)=e'​(r(x))×r'​(x)$
 +
 +Man sagt, dass e(x) die **äußere Funktion** und r(x) die **innere Funktion** ist. Um so eine Funktion f lösen zu können, muss man zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen e(x) und r(x) berechnen und dann in die Formel einsetzten.
 +
 +__Beispiel:​__
 +
 +$f(x)=(2x+4)^2$
 +
 +$f'​(x)=2×(2x+4)×2$
 +
 +$f'​(x)=4×(2x+4)$
 +
 +$f'​(x)=8x+16$
 +
 +
 +
  
 Wenn man diese Regeln kennt und anwenden kann, wird es einem möglich, auch höhere Ableitungen bilden zu können. Wenn man diese Regeln kennt und anwenden kann, wird es einem möglich, auch höhere Ableitungen bilden zu können.
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 Dazu leitet man $f'​(x)$ erneut , unter der Anwendung Ableitungsregeln,​ ab und erhält $f''​(x)$,​ also die zweite Ableitung von $f(x)$. Benötigt man noch höhere Ableitungen $[f'''​ (x)/ f''''​ (x)]$, so leitet man erneut ab. Dazu leitet man $f'​(x)$ erneut , unter der Anwendung Ableitungsregeln,​ ab und erhält $f''​(x)$,​ also die zweite Ableitung von $f(x)$. Benötigt man noch höhere Ableitungen $[f'''​ (x)/ f''''​ (x)]$, so leitet man erneut ab.
 In der Anwendung sieht das dann folgendermaßen aus:  In der Anwendung sieht das dann folgendermaßen aus: 
 +
 +__1. Beispiel (Anwendung Faktorregel und Potenzregel):​__
 +
 + 
 +$f(x)=3x^3$
 +
 +
 +$f'​(x)=9x^2$
 +
 + 
 +$f''​(x)=18x$
 +
 +
 +__2.Beispiel (Anwendung Summenregel):​__
 +
 +
 + ​$f(x)=5x+6x^3$
 +
 +
 + ​$f'​(x)=5+18x^2$
 +
 +
 +$f''​(x)=36x$
 +
 +
 +Das ist das Grundprinzip,​ was hinter der Differentialrechnung steckt.
 +
 + 
 +Hoffentlich könnt ihr das ganze jetzt gut und problemlos auf die Differentialrechnung anwenden.
 +
 +
 +====Probeaufgaben====
 +
 +
 +1). Berechne f'(x) für
 +
 +
 +a) $f(x)=x^4$ ((Lösung: $f'​(x)=4x^3$))
 +        ​
 +
 +b) $f(x)=3×x^2$ ((Lösung: $f'​(x)=6x$))
 +
 +       
 +c) $f(x)=5x$ ((Lösung: $f'​(x)=5$))
 +
 +
 +d) $f(x)=3x^2+2x^3+4x^3$ ((Lösung:​$f'​(x)=3×2x+2×3x^2+4×3x^2$)) ​    
 +
 +
 +e)$f(x)=\frac{x}{(x^2-4)}$ ((Lösung: $f'​(x)=\frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2}$))
 +
 +
 +
 +Mehr Informationen findet ihr unter anderem bei [[http://​de.wikipedia.org/​wiki/​Differentialrechnung]] und
 +
 +[[http://​www.frustfrei-lernen.de/​mathematik/​differentialrechnung-differenzialrechnung.html]]
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