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--- faecher:mathematik:mathebuch:aehnlichkeit [2017/04/04 19:36]
nguyend
+++ faecher:mathematik:mathebuch:aehnlichkeit [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 ======Zentrische Streckung und Ähnlichkeit======
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:784bdef822c0520d1cb551d66736317fcee5a11766f67de8942b805733b3e7ce.jpg |}}
 Legende:
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 Der Streckfaktor k ist ein Wert mit dem man Formen zentrisch strecken kann. Ist der Streckfaktor 2, so wird die Form verdoppelt, bei 3 wird sie verdreifacht, bei 4 wird sie vervierfacht etc.
-{{:faecher:mathematik:mathebuch:www.mathelounge.de.jpeg?200|}}
+{{:faecher:mathematik:mathebuch:vergroessern_4.jpg?200|}}
 ====Das Zentrum====
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 ====Ähnlichkeit====
-Haben 2 oder mehrere Formen die selben Winkel, unterschiedliche Streckenlängen, jedoch mit dem selben Streckenverhältnissen, so verhalten sich diese Formen ähnlich zueinander.
+__**Ähnlichkeitssatz 1 (WWW):**__
+Wenn Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen, verhalten sie sich ähnlich zueinander.
+__**Ähnlichkeitssatz 2 (SSS):**__
+Wenn alle Seitenverhältnisse übereinstimmen, verhalten sich diese Formen ähnlich zueinander.
+__**Ähnlichkeitssatz 3 (SWS):**__
+Wenn Dreiecke in einem Winkel und in den Verhältnissen der anliegenden Seiten übereinstimmen, sind sie ähnlich.
+__**Ähnlichkeitssatz 4 (SSW):**__
+Wenn Dreiecke im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen, sind sie ähnlich.
 ======Verschiedene Beispiele======
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 n: 8cm
-<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch:material-ujvupmzq.ggb</ggb>
 Für die Berechnung des Streckfaktors gilt:
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 Wenn wir also für jeden Punkt einen Kreis brauchen, haben wir das Dreieck mit dem Streckfaktor 2 zentrisch gestreckt. Für den Streckfaktor 3 brauchen wir dann also 2 Kreise für jeden Punkt, bei Streckfaktor 4 brauchen wir 3 Kreise pro Punkt etc.
+======Herleitung======
+====1. Strahlensatz====
+Gegeben sind 2 Strecken b und c mit dem Anfangspunkt A, diese Strecken werden zu den Strecken f und g verlängert und die neuen Abschnitte werden k und j genannt.
+Die Strecken werden durch 2 parallele Geraden geschnitten, dort wo die Parallelen sie Strecken schneiden, werden die Punkte B, C, D und E eingezeichnet.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-bx8pvhra.ggb</ggb>
+Der 1. Strahlensatz:
+$\frac{b}{f}=\frac{c}{g}$
+$\frac{b}{j}=\frac{c}{k}$
+D.h. die  Originalstrecke mit der neuen Strecke dividieren und die Originalstrecke mit den neuem Teil der neuen Strecke auch dividieren.
+====2. Strahlensatz====
+Gegeben sind 2 Strecken b und c mit dem Anfangspunkt A, diese Strecken werden zu den Strecken f und g verlängert und die neuen Abschnitte werden k und j genannt.
+Die Strecken werden durch 2 parallele Geraden geschnitten, dort wo die Parallelen sie Strecken schneiden, werden die Punkte B, C, D und E eingezeichnet.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-bx8pvhra.ggb</ggb>
+Der 2. Strahlensatz:
+$\frac{b}{f}=\frac{BC}{EF}$
+$\frac{c}{g}=\frac{BC}{EF}$
+====Beispiel====
+Gegeben ist ein Dreieck A B C, welches zum Dreieck A D E gestreckt wurde.
+Nun soll bewiesen werden, dass diese Dreiecke ähnlich zueinander sind.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-b5rxkzdr.ggb</ggb>
+Als nächstes werden innerhalb des Dreiecks 3 neue Strecken bc bf cf gezeichnet und der neue Punkt F wird auf der Strecke g hinzugefügt, so erhalten wir das Parallelogramm A B F C. Nicht nur ein Parallelogramm ist im Dreieck enthalten, sondern auch 3 neue Dreiecke mit dem Originaldreieck, zusammen also 4 Dreieck in einem. Jetzt muss bewiesen werden das alle Dreiecke im großen Dreieck kongruent zueinander sind. Dafür zeichnen wir die passenden Winkel ein.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-zpvw6nwh.ggb</ggb>
+Wir nehmen Punkt A und zeichnen den Winkel α 45°. Alle gegenüberliegenden Winkel (und Strecken) sind gleich beim Parallelogramm (fast alle Vierecke).
+https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:flaecheninhalte_von_vierecken
+D.h. bei Punkt F befindet sich der selbe Winkel β 45°. Bei Punkt C kommt der Stufenwinkel γ 45° von α. Und bei B kommt der Wechselwinkel ζ 45° von β.
+Durch die Strahlensätze wissen wir das die Strecken b, bf und CE und die Strecken c, bd und cf gleich lang sind.
+Denn:
+$\frac{b}{f}=\frac{c}{h}$
+Und durch den Kongruenzsatz SWS (Winkel+anliegende Strecken), wissen wir das die Dreiecke kongruent zueinander sind und die Dreiecke A B C und A D E ähnlich sind. Ein weiterer Beweis für die Ähnlichkeit ist das, im großen Dreieck befindenden, Parallelogramm A B F C, denn wenn der Punkt F auf der Strecke g liegt, sind die Dreiecke ähnlich.
+https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze
 ======Streckfaktoren-Regeln======
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 Zum Beispiel:
-§b1:k=\frac{b}{k}=b$
+$b1:k=\frac{b1}{k}=b$
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:spongebob_reading_official_rules_advanced_edition.png?300|}}
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 ====Aufgabe 1====
-a) $k=\frac{7,5}{5}=\frac{4,5}{3}=\frac{9,75}{6,5}$
+<hidden>a) $k=\frac{7,5}{5}=\frac{4,5}{3}=\frac{9,75}{6,5}$
 $k=1,5$
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 b) Das neue Dreieck hat die selben Längen wie das Original, da der Streckfaktor -1 ist und -1 spiegelt die Form und verändert dabei nicht die Längen.
+</hidden>
 ====Aufgabe 2====
-a) Patrick hat recht, denn Spongebob hat das Quadrat nicht mit dem Streckfaktor 2 sondern mit 3 gestreckt.
+<hidden>a) Patrick hat recht, denn Spongebob hat das Quadrat nicht mit dem Streckfaktor 2 sondern mit 3 gestreckt.
 Der Abstand zwischen den neue Punkten und den Originalpunkten ist doppelt so groß wie die Abstand zwischen den Originalpunkten und dem Zentrum, dabei hätten diese gleich groß sein müssen.
 b) Spongebob hat sich die Arbeit zu schwer gemacht, da Quadrate __**ALLE**__ ähnlich zueinander sind.
-Alle Quadrate haben die Eigenschaft alle die selben Winkel (90°) zuhaben. D.h. dass alle Quadrate Ähnlichkeitsabbildungen voneinander sind, da sie alle das selbe Streckenverhältnis haben, denn alle Strecken sind gleich lang.
+Alle Quadrate haben die Eigenschaft alle die selben Winkel (90°) zuhaben. D.h. dass alle Quadrate Ähnlichkeitsabbildungen voneinander sind, da sie alle das selbe Streckenverhältnis haben, denn alle Strecken sind gleich lang.</hidden>
 ====Aufgabe 3====
-Nein, dieses Dreieck wurde falsch gestreckt, d.h. dass die Dreiecke nicht ähnlich zueinander sind.
+<hidden>Nein, dieses Dreieck wurde falsch gestreckt, d.h. dass die Dreiecke nicht ähnlich zueinander sind.
 Die Abstände zwischen den Originalpunkten und den neuen Punkten sind halb so groß wie die Abstände zwischen den Originalpunkten und dem Zentrum, dies trifft jedoch nur auf A und A1 und B1 und B. Der Abstand zwischen den Punkten C1 und C ist nicht so groß wie der Abstand von Zentrum Z zum Punkt C1. Außerdem sind die Strecken a und b nicht parallel zu a1 und b1, während c und c1 parallel zueinander sind.
+</hidden>
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:1mhono.jpg?200|}}
+======Quellen======
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+kreis&imgrc=IB-g3SM6OSGb2M:
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+parallel&imgrc=ksLCy-M89g5EOM:
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+rules&imgrc=Yx8ptv4pgnc39M:
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+geogebra&imgrc=xi51eycz4q93yM:
+http://www.mathematik-wissen.de/zentrische_streckung2.jpg
+http://www.mathe-lexikon.at/media/advanced_pictures/vergroessern_4.jpg

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