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--- faecher:mathematik:mathebuch:aehnlichkeit [2017/04/04 16:44]
nguyend [Streckfaktoren-Regeln]
+++ faecher:mathematik:mathebuch:aehnlichkeit [2018/03/16 21:11] (aktuell)
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 ======Zentrische Streckung und Ähnlichkeit======
-{{ :faecher:mathematik:mathebuch:784bdef822c0520d1cb551d66736317fcee5a11766f67de8942b805733b3e7ce.jpg |}}
-__**Legende:**__
+Legende:
-A/A1/B/B1 ... (Großbuchstaben): Ecke/Punkt
+A,B,C ... (Großbuchstaben): Punkte/Ecken
-a/a1/b/b1 ... (Kleinbuchstaben): Strecke
+a, b, c ... (Kleinbuchstaben): Strecken
+k: Streckfaktor
 Z: Zentrum
-k: Streckfaktor
 ======Definition======
-====Allgemeine Information====
+====Allgemeine Informationen====
-Die Zentrische Streckung bedeutet in der Geometrie das Vergrößern oder Verkleinern aller Strecken einer Form in einem bestimmten Verhältnis, wo die __Winkel gleich bleiben__. Wenn eine Form vergrößert/verkleinert wird, verhalten sich Originalform und Vergrößerung/Verkleinerung __ähnlich__ zu einander. D.h. das die Streckenlängen sich unterscheiden,
+Die Zentrische Streckung bedeutet in der Geometrie eine Vergrößerung oder Verkleinerung einer Form.
-aber das __Streckenverhältnis bleibt gleich__.
+Dabei bleibt das Streckenverhältnis (bei Dreiecken/Vierecken) gleich, d.h. das alle Strecken mit dem selben Streckfaktor gestreckt werden und die Winkel bleiben dabei __**immer gleich**__.
 ====Der Streckfaktor====
-Bei der zentrischen Streckung gibt es den sogenannten Streckfaktor k.
+Der Streckfaktor k ist ein Wert mit dem man Formen zentrisch strecken kann. Ist der Streckfaktor 2, so wird die Form verdoppelt, bei 3 wird sie verdreifacht, bei 4 wird sie vervierfacht etc.
-Mit diesem Streckfaktor werden __alle__ Strecken einer Form gestreckt.
-Wie diese gestreckt werden, funktioniert durch ein Zentrum.
-{{:faecher:mathematik:mathebuch:www.mathelounge.de.jpeg?200|}}
+{{:faecher:mathematik:mathebuch:vergroessern_4.jpg?200|}}
 ====Das Zentrum====
-Das Zentrum Z ist irgendein bestimmter Punkt, dieser wird mit allen Punkten einer Form (bei Viereck/Dreieck alle Ecken), durch Geraden, verbunden.
+Wie eine Form gestreckt wird funktioniert mit einem Zentrum. Dieses ist ein außenstehender Punkt, mit dem man alle Ecken einer Form durch Geraden verbindet. Auf den Geraden findet man sich neue Punkte, je nach Streckfaktor und verbindet diese.
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:zentrische_streckung2.jpg?200|}}
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 ====Ähnlichkeit====
-Wenn zwei Formen unterschiedliche Längen besitzen, aber die selben Winkel und die selben Streckenverhältnisse haben, verhalten sich diese Formen ähnlich zueinander.
+__**Ähnlichkeitssatz 1 (WWW):**__
+Wenn Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen, verhalten sie sich ähnlich zueinander.
+__**Ähnlichkeitssatz 2 (SSS):**__
+Wenn alle Seitenverhältnisse übereinstimmen, verhalten sich diese Formen ähnlich zueinander.
+__**Ähnlichkeitssatz 3 (SWS):**__
+Wenn Dreiecke in einem Winkel und in den Verhältnissen der anliegenden Seiten übereinstimmen, sind sie ähnlich.
+__**Ähnlichkeitssatz 4 (SSW):**__
+Wenn Dreiecke im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen, sind sie ähnlich.
 ======Verschiedene Beispiele======
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 ====Beispiel 1====
-<note tip>__**Wie streckt man denn Formen ???**__</note>
+<note tip>Wie strict man eine Form ???</note>
+Gegeben ist ein Dreieck A B C mit den Strecken:
-Gegeben ist ein Dreieck A B C
 f: 3,61cm
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 h: 3cm
+Dieses Dreieck wollen wir dem Streckfaktor 2 zentrisch strecken.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-x3zf7mpw.ggb</ggb>
-Dieses Dreieck soll um das doppelte und maßstabsgetreu vergrößert werden.
+Als nächstes suchen wir einen Punkt in der Nähe des Dreiecks. Dieser Punkt wird das Zentrum Z.
-Das Doppelte bedeutet mit dem Streckfaktor 2.
-Maßstabsgetreu bedeutet zentrisch gestreckt.
-Als erstes suchen wir uns irgendein Punkt als Zentrum aus.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-rbfkwjwk.ggb</ggb>
-Als nächstes führen wir eine Gerade durch das Zentrum und durch alle Ecken.
+Nun verbinden wir das Zentrum Z mit allen Ecken (A, B, C) des Dreiecks durch Geraden.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-dxb2uvpw.ggb</ggb>
-Der Abstand zwischen Zentrum und den einzelnen Ecken wird nun, mithilfe der Geraden verdoppelt (, da der Streckfaktor ja 2 ist), sodass wir drei neue Punkte auf den Geraden einzeichnen können. Der Abstand zwischen Zentrum und den neuen Punkten ist also doppelt so groß wie der Abstand zwischen Zentrum und den Originalpunkten.
+Auf den Geraden suchen wir uns 3 neue Punkte. Der Abstand zwischen Originalecke und neuer Punkt soll genau so groß werden wie der Abstand zwischen das Zentrum Z und der Originalecke.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-zrzdhrc5.ggb</ggb>
-Nun müssen wir die neuen Punkte auf den Geraden miteinander verbinden und wir erhalten ein neues Dreieck.
+Jetzt haben wir unsere 3 neuen Punkte D, E und F. Diese Punkte werden die Ecken unseres Dreiecks, indem wir sie miteinander verbinden und wir erhalten das neue Dreieck D E F.
-Dieses Dreieck ist zentrisch gestreckt und ist somit doppelt so groß wie das Originaldreieck, da der Streckfaktor 2 lautet.
-Das neue Dreieck:
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-s2quf2gf.ggb</ggb>
+Dieses neue Dreieck ist das Ergebnis der zentrischen Streckung.
+Die Längen des neuen Dreiecks:
 l: 6cm
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 n: 7,22cm
-<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-s2quf2gf.ggb</ggb>
+D.h. das Dreieck A B C wurde mit dem Streckfaktor 2 zum Dreieck D E F verdoppelt.
-Die Winkel bleiben __gleich__ groß.
-Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke sich __ähnlich__ zueinander verhalten.
 ====Beispiel 2====
-<note tip>__**Geht dieser Weg auch umgekehrt ???**__</note>
+<note tip>Funktioniert dieser Weg auch umgekehrt ???</note>
-Natürlich kann man den Weg umgekehrt gehen, d.h. es sind 2 ähnliche Formen gegeben und der Streckfaktor muss herausgefunden werden.
+Ja, dieser Weg geht auch umgekehrt, d.h. dass man den Streckfaktor ausrechnen muss, wenn man 2 ähnliche Dreiecke gegeben hat.
-Für die Rechnung des Streckfaktors gilt:
-$k=\frac{a}{a1}=\frac{b}{b1}$
+Gegeben ist ein Dreieck A B C mit den Längen:
-D.h. die gestreckte Strecke wird durch die Originalstrecke dividiert und so erhält man den Streckfaktor k.
+f: 4cm
-Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1, das zum Dreieck A B C zentrisch gestreckt wurde und gesucht wird der Streckfaktor k.
+g: 2cm
-Das Originaldreieck:
+h: 4,47cm
-a1: 8,94 cm
+Dazu das Ergebnis der zentrischen Streckung E F G mit den Längen:
-b1: 8 cm
+l: 8,94cm
-c1: 4 cm
+m: 4cm
-Das gestreckte Dreieck:
+n: 8cm
-a: 17,88 cm
+Für die Berechnung des Streckfaktors gilt:
-b: 16 cm
+<note tip>$k=\frac{a}{a1}=\frac{b}{b1}=\frac{c}{c1}$</note>
-c: 8 cm
+Die gestreckte Strecke (a, b, c) wird mit der Originalstrecke (a1, b1, c1) dividiert.
-<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-srnrjate.ggb</ggb>
+$k=\frac{l}{h}=\frac{n}{f}=\frac{m}{g}=?$
-Um den Streckfaktor k auszurechnen, müssen wir die gestreckte Strecke mit dem Original dividieren.
+$k=\frac{8,94}{4,47}=\frac{8}{4}=\frac{4}{2}=2$
-$k=\frac{a}{a1}=\frac{b}{b1}=\frac{c}{c1}$
+Der Streckfaktor beträgt also 2, d.h. dass das Dreieck A B C zum Dreieck E F G verdoppelt wurde.
-$k=\frac{17,88}{8,94}=\frac{16}{8}=\frac{8}{4}$
-$k=2$
-Der Streckfaktor beträgt also 2.
-Man kann also mit einem Streckfaktor Formen strecken und man kann mit gestreckten Formen den Streckfaktor herausfinden und man geht bei der zentrischen Streckung den einen oder anderen Weg.
 ====Beispiel 3====
-<note tip>__**Funktioniert die zentrische Streckung auch mit negativen Streckfaktoren ???**__</note>
+<note tip>Kann der Streckfaktor auch negativ sein ???</note>
-Ja, das funktioniert ebenfalls mit negativen Streckfaktoren.
+Ja, der Streckfaktor kann tatsächlich negativ sein.
-Normalerweise suchen wir uns bei der zentrischen Streckung neue Punkte mithilfe des Zentrums Z wie in Beispiel 1, sodass die Originalform zwischen Zentrum und der gestreckten Form liegt, wenn es zentrisch vergrößert wurde, oder dass die Originalform hinter der gestreckten Form liegt, wenn diese zentrisch verkleinert wurde.
+Normalerweise befindet sich das Originaldreieck __**zwischen**__ Zentrum und gestrecktes Dreieck wie im Beispiel 1 und Beispiel 2. Bei negativen Streckfaktoren ist das anders, denn dort befindet sich das Zentrum zwischen Originaldreieck und gestrecktes Dreieck.
+Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1. Mit dem Streckfaktor -1 suchen wir uns mithilfe des Zentrums und der Geraden 3 neue Punkte hinter dem Zentrum. Der Abstand zwischen Zentrum und Originalecke ist genauso groß wie der Abstand zwischen Zentrum und dem neuen Punkt. Wenn wir 3 neue Punkte haben, verbinden wir diese und wir erhalten ein neues und gleichaussehendes Dreieck A B C.
-Bei negativen Streckfaktoren ist das anders.
-Wenn wir ein Dreieck zentrisch Strecken und nun mit einem negativen Streckfaktor, z.B. -1, wird dieses nun mithilfe der Geraden des Zentrums Z gegenüber der Originalpunkte verbunden, d.h. das Zentrum liegt __zwischen__ Original und Streckung, dabei wird das gestreckte Dreieck __umgedreht__.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-pzxzycqb.ggb</ggb>
-Der negative Streckfaktor __spiegelt__ die Originalform und je kleiner die negative Zahl (-2, -3, -4, etc.), desto größer wird die neue Gestreckte Form.
+Die Dreiecke sehen genau gleich aus, da sie die selben Winkel und Strecken haben. Der Unterschied ist, dass das Dreieck A B C umgedreht ist, aufgrund der Geraden des Zentrums.
+D.h. dass der Streckfaktor -1 das Dreieck nur **__spiegelt__**.
+Die Dreiecke sind außerdem kongruent zueinander.
-<note important>Bei -1 wird eine Form immer gespiegelt und die Dreiecke sind kongruent zueinander</note>
+https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze
-https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze
+Die weiteren Minuszahlen vergrößern oder verkleinern eine Form, aber spiegeln tun sie __**ALLE**__.
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:hqdefault-2.jpg?200|}}
 ====Beispiel 4====
-<note tip>**__Kann man eine Form ohne Streckfaktor zentrisch strecken ???__**</note>
+<note tip>Gibt es andere Wege eine Form zu strecken ???</note>
-Ja, das funktioniert tatsächlich.
+Ja, es gibt 2 weitere Wege eine Form zu strecken.
-Es gibt 2 verschiedene Möglichkeiten eine Form zentrisch, ohne Streckfaktor, zu strecken.
-__**Möglichkeit 1**__: Man kann eine Form mithilfe von Parallelen zentrisch strecken.
+__**Möglichkeit 1:**__ Man kann eine Form mithilfe von Parallelen zentrisch strecken.
-Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 und dieses soll mit Parallelen zentrisch gestreckt werden.
+Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1. Dieses soll mit Parallelen gestreckt werden.
-Wir nehmen eine Gerade auf der Strecke c1 und irgendeine parallele über dem Dreieck, wo wir dort 2 neue Punkte (A1 und B1) zeichnen können. Diese Punkte verbinden wir miteinander und wir erhalten die Strecke c.
+Man zieht eine Gerade durch die Punkte A1 und B1 und dann eine weitere, parallele Gerade. Dort wo die parallele Gerade die Gerade des Zentrums schneidet, kommen die neuen Punkte A und B. Der Abstand zwischen A und A1 ist genauso groß wie der Abstand von A1 zum Zentrum Z. Als nächstes führen wir eine weitere Gerade durch die Punkte B1 und C1, dazu eine parallele Gerade. Dort wo die parallele Gerade die Gerade des Zentrums schneit kommt der Punkt C hin. Als nächstes verbinden wir die Punkte A B C und wir erhalten ein neues Dreieck.
-Als nächstes zeichnen wir eine Gerade auf der Strecke a1 und dazu eine parallele Gerade der durch den neuen Punkt B geht. Dort wo die Parallele die Gerade des Zentrums Z schneidet, wird der neue Punkt C eingezeichnet. Nun werden alle Punkte verbunden und wir erhalten ein gestrecktes Dreieck A B C ganz ohne Streckfaktor.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-f288psuu.ggb</ggb>
-__**Möglichkeit 2**__: Man kann eine Form mithilfe von Kreisen zentrisch strecken.
+Da der Abstand zwischen Zentrum und Originalpunkt genauso groß ist wie der Abstand zwischen Originalpunkt und neuer Punkt, wurde das Dreieck mit dem Streckfaktor 2 zentrisch gestreckt und so verdoppelt.
+__**Möglichkeit 2:**__ Man kann eine Form mithilfe von Kreisen zentrisch strecken.
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:maxresdefault-3.jpg?200|}}
-Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 und dieses soll mit Kreisen zentrisch gestreckt werden.
+Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 und dieses soll mithilfe von Kreise zentrisch gestreckt werden.
-Wir nehmen Punkt A1 als den Mittelpunkt unseres Kreises, dieser soll einen Radius bis zum Zentrum Z haben. Dort wo die Gerade des Zentrums den Kreis schneidet, wird der neue Punkt A eingezeichnet. Das gleiche Spiel machen wir mit den Punkten B1 und C1 und wir erhalten die Punkte A B C, diese werden miteinander verbunden und wir erhalten ein gestrecktes Dreieck A B C ganz ohne Streckfaktor.
+Wir nehmen die Ecke A1 als Mittelpunkt und der Radius soll bis zum Zentrum Z gehen. Dort wo der Kreis die Gerade des Zentrums schneidet kommt der neue Punkt A hin. Das gleiche Spielen machen wir bei den Punkten B1 und C1 und wir erhalten die neuen Punkte B und C. Nun verbinden wir alle Punkte miteinander und wir erhalten ein neues Dreieck.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-up8zdttk.ggb</ggb>
+Wenn wir also für jeden Punkt einen Kreis brauchen, haben wir das Dreieck mit dem Streckfaktor 2 zentrisch gestreckt. Für den Streckfaktor 3 brauchen wir dann also 2 Kreise für jeden Punkt, bei Streckfaktor 4 brauchen wir 3 Kreise pro Punkt etc.
+======Herleitung======
+====1. Strahlensatz====
+Gegeben sind 2 Strecken b und c mit dem Anfangspunkt A, diese Strecken werden zu den Strecken f und g verlängert und die neuen Abschnitte werden k und j genannt.
+Die Strecken werden durch 2 parallele Geraden geschnitten, dort wo die Parallelen sie Strecken schneiden, werden die Punkte B, C, D und E eingezeichnet.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-bx8pvhra.ggb</ggb>
+Der 1. Strahlensatz:
+$\frac{b}{f}=\frac{c}{g}$
+$\frac{b}{j}=\frac{c}{k}$
+D.h. die  Originalstrecke mit der neuen Strecke dividieren und die Originalstrecke mit den neuem Teil der neuen Strecke auch dividieren.
+====2. Strahlensatz====
+Gegeben sind 2 Strecken b und c mit dem Anfangspunkt A, diese Strecken werden zu den Strecken f und g verlängert und die neuen Abschnitte werden k und j genannt.
+Die Strecken werden durch 2 parallele Geraden geschnitten, dort wo die Parallelen sie Strecken schneiden, werden die Punkte B, C, D und E eingezeichnet.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-bx8pvhra.ggb</ggb>
+Der 2. Strahlensatz:
+$\frac{b}{f}=\frac{BC}{EF}$
+$\frac{c}{g}=\frac{BC}{EF}$
+====Beispiel====
+Gegeben ist ein Dreieck A B C, welches zum Dreieck A D E gestreckt wurde.
+Nun soll bewiesen werden, dass diese Dreiecke ähnlich zueinander sind.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-b5rxkzdr.ggb</ggb>
+Als nächstes werden innerhalb des Dreiecks 3 neue Strecken bc bf cf gezeichnet und der neue Punkt F wird auf der Strecke g hinzugefügt, so erhalten wir das Parallelogramm A B F C. Nicht nur ein Parallelogramm ist im Dreieck enthalten, sondern auch 3 neue Dreiecke mit dem Originaldreieck, zusammen also 4 Dreieck in einem. Jetzt muss bewiesen werden das alle Dreiecke im großen Dreieck kongruent zueinander sind. Dafür zeichnen wir die passenden Winkel ein.
+<ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-zpvw6nwh.ggb</ggb>
+Wir nehmen Punkt A und zeichnen den Winkel α 45°. Alle gegenüberliegenden Winkel (und Strecken) sind gleich beim Parallelogramm (fast alle Vierecke).
+https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:flaecheninhalte_von_vierecken
+D.h. bei Punkt F befindet sich der selbe Winkel β 45°. Bei Punkt C kommt der Stufenwinkel γ 45° von α. Und bei B kommt der Wechselwinkel ζ 45° von β.
+Durch die Strahlensätze wissen wir das die Strecken b, bf und CE und die Strecken c, bd und cf gleich lang sind.
+Denn:
+$\frac{b}{f}=\frac{c}{h}$
+Und durch den Kongruenzsatz SWS (Winkel+anliegende Strecken), wissen wir das die Dreiecke kongruent zueinander sind und die Dreiecke A B C und A D E ähnlich sind. Ein weiterer Beweis für die Ähnlichkeit ist das, im großen Dreieck befindenden, Parallelogramm A B F C, denn wenn der Punkt F auf der Strecke g liegt, sind die Dreiecke ähnlich.
+https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze
 ======Streckfaktoren-Regeln======
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 Zum Beispiel:
-§b1:k=\frac{b}{k}=b$
+$b1:k=\frac{b1}{k}=b$
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:spongebob_reading_official_rules_advanced_edition.png?300|}}
 ======Aufgaben======
 ====Aufgabe 1====
-a) Gegeben ist ein Rechteck mit den Längen:
+a) Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 mit den Längen:
+a1: 5cm
+b1: 3cm
-cm Breite
+c1: 6,5cm
-cm Höhe
+Dieses wird zentrisch gestreckt und wir erhalten das Dreieck A B C mit den Längen:
-Dieses wird so zentrisch gestreckt, dass die neuen Längen so ergeben:
+a: 7,5cm
-cm Breite
+b: 4,5cm
-,6cm Höhe
+c: 9,75cm
-Wie lautet der Streckfaktor ???
+Wie viel beträgt der Streckfaktor ???
-b) Gegeben ist ein Dreieck A B C mit den Längen
+b) Das Dreieck A1 B1 C1 wird mit dem Streckfaktor -1 zentrisch gestreckt mit den Längen:
-a: 4cm
+a1: 12,45cm
-b: 6cm
+b1: 6,55cm
-c: 7,5cm
+c1 7,75cm
-Dieses Dreieck soll, mit dem Streckfaktor -1, zentrisch gestreckt werden.
+Welche Längen hat das neue Dreieck ???
-Wie lauten die Streckenlängen des neuen Dreiecks ???
 ====Aufgabe 2====
-Spongebob will ein Quadrat, mit den Längen 2cm, vergrößern. Dazu benutzt er den Streckfaktor 2.
+Spongebob will ein Quadrat mit dem Streckfaktor 2 zentrisch strecken. Er sucht sich ein Zentrum, zieht Geraden vom Zentrum durch alle Ecken und sucht sich auf den Geraden 4 neue Punkte aus. Der Abstand zwischen den neuen Punkten und den Originalpunkten ist doppelt so groß wie der Abstand zwischen den Originalpunkten und dem Zentrum. Plötzlich kommt Patrick und meint: " Spongebob, du hast das Quadrat falsch gestreckt und dir aus viel zu viel Arbeit gemacht !!!"
-Spongebob markiert alle 4 Ecken der Form, sucht sich ein Zentrum Z, verbindet dieses Zentrum mit allen Punkten und zeichnet auf den Geraden des Zentrums 4 neue Punkte. Die 4 neuen Punkte verbindet er und er erhält ein zentrisch gestrecktes Quadrat. Der Abstand von Originalecke zur neuen Ecke ist doppelt so groß wie der Abstand von Zentrum zur Originalecke.
-Plötzlich kommt Patrick und sagt: "Das ist total falsch, Spongebob !!! Du hast dir die Arbeit auch viel zu schwer gemacht".
 {{:faecher:mathematik:mathebuch:hqdefault.jpg?200|}}
-a) Begründe, ob Patrick richtig liegt und ob Spongebob einen Fehler gemacht hat, wenn ja warum und was müsste Spongebob machen ???
+a) Erkläre, ob Patrick recht hat und was Spongebob falsch gemacht hat.
-b) Warum hat Spongebob sich die Arbeit zu schwer gemacht ???
+b) Warum hat Spongebob sich zu viel Arbeit gemacht ???
 ====Aufgabe 3====
-Wurde dieses Rechteck korrekt zentrisch gestreckt und sind die Dreiecke ähnlich ???
+Wurde dieses Dreieck korrekt zentrisch gestreckt ???
-Mit Begründung.
 <ggb 240>/faecher/mathematik/mathebuch/material-u9bprpqa.ggb</ggb>
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 ====Aufgabe 1====
-a) $k=\frac{54}{15}=\frac{39,6}{11}=3,6$
+<hidden>a) $k=\frac{7,5}{5}=\frac{4,5}{3}=\frac{9,75}{6,5}$
-Der Streckfaktor beträgt 3,6.
+$k=1,5$
-b)
+Der Streckfaktor beträgt 1,5 !!!
-a: 4cm
+b) Das neue Dreieck hat die selben Längen wie das Original, da der Streckfaktor -1 ist und -1 spiegelt die Form und verändert dabei nicht die Längen.
+</hidden>
-b: 6cm
+====Aufgabe 2====
-c: 7,5cm
+<hidden>a) Patrick hat recht, denn Spongebob hat das Quadrat nicht mit dem Streckfaktor 2 sondern mit 3 gestreckt.
+Der Abstand zwischen den neue Punkten und den Originalpunkten ist doppelt so groß wie die Abstand zwischen den Originalpunkten und dem Zentrum, dabei hätten diese gleich groß sein müssen.
-Die Längen bleiben gleich, da der Streckfaktor -1 das Dreieck nur spiegelt.
+b) Spongebob hat sich die Arbeit zu schwer gemacht, da Quadrate __**ALLE**__ ähnlich zueinander sind.
+Alle Quadrate haben die Eigenschaft alle die selben Winkel (90°) zuhaben. D.h. dass alle Quadrate Ähnlichkeitsabbildungen voneinander sind, da sie alle das selbe Streckenverhältnis haben, denn alle Strecken sind gleich lang.</hidden>
-====Aufgabe 2====
+====Aufgabe 3====
-a) Patrick hat recht, denn Spongebob hat das Quadrat nicht mit dem Streckfaktor 2 gestreckt, sondern mit 3, da der Abstand von Originalecke und neue Ecke doppelt so groß ist wie der Abstand von Zentrum und Originalecke.
+<hidden>Nein, dieses Dreieck wurde falsch gestreckt, d.h. dass die Dreiecke nicht ähnlich zueinander sind.
-Die Abstände hätten gleich groß sein müssen.
+Die Abstände zwischen den Originalpunkten und den neuen Punkten sind halb so groß wie die Abstände zwischen den Originalpunkten und dem Zentrum, dies trifft jedoch nur auf A und A1 und B1 und B. Der Abstand zwischen den Punkten C1 und C ist nicht so groß wie der Abstand von Zentrum Z zum Punkt C1. Außerdem sind die Strecken a und b nicht parallel zu a1 und b1, während c und c1 parallel zueinander sind.
+</hidden>
-b) Spongebob hat sich die Arbeit zu schwer gemacht, denn ALLE Quadrate sind ähnlich zueinander. Alle Quadrate haben die selben Winkel (immer 90°) und die Längen sind auch ALLE gleich groß. D.h. dass Spongebob eigentlich nur ein anderes Quadrat zeichnen müsste, das doppelt so groß ist. Dafür braucht man kein Zentrum oder Geraden. Man kann einfach abmessen oder Kästchen zählen.
-====Aufgabe 3====
+{{:faecher:mathematik:mathebuch:1mhono.jpg?200|}}
+======Quellen======
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+kreis&imgrc=IB-g3SM6OSGb2M:
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+parallel&imgrc=ksLCy-M89g5EOM:
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+rules&imgrc=Yx8ptv4pgnc39M:
-Nein, dieses Dreieck wurde falsch zentrisch gestreckt, denn die Abstände von A bis A1 und B bis B1 sind halb so groß, wie die Abstände von Z bis A und Z bis B, während der Abstand von C bis C1 nicht halb so groß ist, wie der Abstand von Z bis C, der Abstand von C bis C1 ist ein bisschen zu groß.
+https://www.google.de/search?q=spongebob+spiegel&client=ubuntu&hs=BcP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiS2o3M15HTAhWGXiwKHY9aCPYQ_AUICCgB&biw=1280&bih=894#channel=fs&tbm=isch&q=spongebob+geogebra&imgrc=xi51eycz4q93yM:
-Außerdem müssten die Die Strecken a und a1 und b und b1 parallel zueinander sein. Hier sind sie es nicht.
-D.h. die Dreiecke verhalten sich nicht ähnlich.
-{{:faecher:mathematik:mathebuch:1mhono.jpg?300|}}
+http://www.mathematik-wissen.de/zentrische_streckung2.jpg
+http://www.mathe-lexikon.at/media/advanced_pictures/vergroessern_4.jpg

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